Bài 4.24 trang 89 Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC...

Đề bài :

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC.

a) Chứng minh rằng AE = DF.

b) Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng ba điểm B, I, F thẳng hàng.

Hướng dẫn giải :

a. Chứng minh tứ giác ADEF là hình chữ nhật, suy ra hai đường chéo AE = DF.

b. Chứng minh BDFE là hình bình hành, suy ra 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm, nên I nằm giữa B và F suy ra B, I, F thẳng hàng.

Lời giải chi tiết :

Cách 1.

a) Theo đề bài, tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {BAC} = {90^o}\) hay AB ⊥ AC.

Vì D, E lần lượt là trung điểm của AB, BC nên DE là đường trung bình của tam giác ABC suy ra DE // AC.

Mà AB ⊥ AC nên AB ⊥ DE hay \(\widehat {A{\rm{D}}E} = {90^o}\).

Tương tự, ta chứng minh được: EF ⊥ AC hay \(\widehat {AEF} = {90^o}\)

Ta có: \(\widehat {BAC} + \widehat {A{\rm{D}}E} + \widehat {AFE} + \widehat {DEF} = {360^o}\)

90°+90°+90^o\( + \widehat {DEF}\) = 360^o 270°+ \(\widehat {DEF}\)=360°

Suy ra \(\widehat {DEF}\)=360°−270°=90^o

Tứ giác ADEF có \(\widehat {BAC} = {90^o};\widehat {A{\rm{D}}E} = {90^o};\widehat {AEF} = {90^o};\widehat {DEF} = {90^{^o}}\)

Do đó tứ giác ADEF là hình chữ nhật.

Suy ra hai đường chéo AE và DF bằng nhau.

Vậy AE = DF (đpcm).

b) Vì D, F lần lượt là trung điểm của AB, AC nên DF là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra DF // BC hay DF // BE.

Vì tứ giác ADEF là hình chữ nhật nên AD // EF hay BD // EF.

Tứ giác BDFE có DF // BE và BD // EF nên tứ giác BDFE là hình bình hành.

Hình bình hành BDFE có hai đường chéo BF và DE.

Mà I là trung điểm của DE nên I cũng là trung điểm của BF.

Do đó, ba điểm B, I, F thẳng hàng.

Cách 2.

a) Tam giác ABC vuông tại A, AE là tiếp tuyến (gt)

=> \(AE = \frac{1}{2}BC\) (1)

D, F lần lượt là trung điểm của AB, AC (gt)

=> \(DF = \frac{1}{2}BC\) (2)

Từ (1) và (2) => AE = DF.

b) DF là đường trung bình của tam giác ABC (cmt)

=> DF // BE (DF //BC) và DF = BE (DF = \(\frac{1}{2}\)BC = BE).

=> Tứ giác BDFE là hình bình hành => DE và BF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

I là trung điểm của DE (gt) => I là trung điểm của BF => B, I, F thẳng hàng.