Bài 3.22 trang 39 SBT Toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống: Sử dụng tính chất tổng các góc của một tam giác bằng \({180^0}\) để chứng minh...

Đề bài :

1. Sử dụng tính chất tổng các góc của một tam giác bằng \({180^0}\) để chứng minh:

a) Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

b) Tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng nửa BC thì tam giác vuông tại A.

2. Sử dụng tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau để chứng minh a), b) của ý 1.

Hướng dẫn giải :

2a: Sử dụng kiến thức về tính chất hình chữ nhật để chứng minh: Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

2b: Sử dụng kiến thức về dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật để chứng minh: Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết :

1.

a) Giả sử tam giác ABC vuông tại A.

Do B là góc nhọn, lấy điểm M thuộc BC sao cho \(\widehat {BAM} = \widehat {ABM}\) nên tam giác ABM cân tại M. Do đó, \(AM = MB\)

Vì \(\widehat {BAM} + \widehat {MAC} = \widehat {ABM} + \widehat {ACM} = {90^0}\) nên \(\widehat {MAC} = \widehat {ACM}\), do đó, tam giác AMC cân tại M. Do đó, \(MA = MC.\)

Vậy \(MA = MB = MC = \frac{1}{2}BC\)

b) Ngược lại, nếu M thuộc BC sao cho \(MA = MB = MC = \frac{1}{2}BC\) thì tam giác MAB cân tại M, tam giác MAC cân tại M.

Suy ra, \(\widehat {MAB} = \widehat B,\widehat {MAC} = \widehat C\)

Ta có: \(\widehat {BAC} = \widehat {MAC} + \widehat {MAB}\)

Nên \(\widehat {BAC} = \widehat B + \widehat C\), mà \(\widehat {BAC} + \widehat B + \widehat C = {180^0}\) nên \(\widehat {BAC} = {90^0}\)

Do đó, tam giác ABC vuông tại A.

2.

Gọi M là trung điểm của BC, lấy điểm P sao cho M là trung điểm của AP thì tứ giác ABPC là hình bình hành.

a) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì hình bình hành ABPC có \(\widehat {BAC} = {90^0}\) nên ABPC là hình chữ nhật. Do hai đường chéo AP, BC bằng nhau nên \(MA = MB = MC = MP\)

b) Nếu M thuộc BC sao cho \(MA = MB = MC = \frac{1}{2}BC\) thì suy ra \(BC = AP\). Khi đó, hình bình hành ABPC có hai đường chéo bằng nhau nên ABPC là hình chữ nhật. Do đó, \(\widehat {CAB} = {90^0}\)

Vậy tam giác ABC vuông tại A.