Bài 4.5 trang 48 SBT Toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống: Cho hình thang ABCD (AB//DC). Một đường thẳng song song với hai đáy cắt các đoạn thẳng AD, AC...

Đề bài :

Cho hình thang ABCD (AB//DC). Một đường thẳng song song với hai đáy cắt các đoạn thẳng AD, AC, BC theo thứ tự tại M, I, N. Chứng minh rằng:

a) \(\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{{BN}}{{NC}}\);

b) \(\frac{{AM}}{{AD}} + \frac{{CN}}{{CB}} = 1\).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về định lí Thalès để chứng minh: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Lời giải chi tiết :

a) Tam giác ADC có MI//DC (gt) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{{AI}}{{IC}}\)

Tam giác ABC có NI//AB (gt) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{NB}}{{NC}} = \frac{{AI}}{{IC}}\)

Do đó, \(\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{{BN}}{{NC}}\)

b) Tam giác ADC có MI//DC (gt) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{AI}}{{AC}}\)

Tam giác ABC có NI//AB (gt) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{CN}}{{CB}} = \frac{{CI}}{{AC}}\)

Do đó, \(\frac{{AM}}{{AD}} + \frac{{CN}}{{CB}} = \frac{{AI}}{{AC}} + \frac{{IC}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{AC}} = 1\)