Bài 6.42 trang 15 SBT Toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống: Cho phân thức \(P = \frac{{{x^2} - 4x + 12}}{{{x^2} - 4x + 10}}. \) Đặt \(t = x - 2...

Đề bài :

Cho phân thức \(P = \frac{{{x^2} - 4x + 12}}{{{x^2} - 4x + 10}}.\) Đặt \(t = x - 2,\) hãy biểu diễn P dưới dạng một phân thức của biến t. Từ đó suy ra P luôn nhận giá trị dương.

Hướng dẫn giải :

+ Sử dụng kiến thức giá trị của phân thức tại một giá trị đã cho của biến để tính giá trị phân thức: Muốn tính giá trị của một phân thức tại một giá trị đã cho của biến ta thay giá trị đã cho của biến vào phân thức đó rồi tính giá trị biểu thức số nhận được.

+ Để chứng minh P luôn nhận giá trị dương thì cần chứng minh \(P > 0\) với mọi giá trị của biến.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(P = \frac{{{x^2} - 4x + 12}}{{{x^2} - 4x + 10}} = \frac{{{x^2} - 4x + 4 + 8}}{{{x^2} - 4x + 4 + 6}} = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 6}}\)

Đặt \(t = x - 2\) thì \(P = \frac{{{t^2} + 8}}{{{t^2} + 6}} > 0\)

Do đó, P luôn nhận giá trị dương.