Bài 5 trang 28 vở thực hành Toán 8 tập 2: Cho biểu thức \(P = \frac{x}{{x - 2}} + \frac{x}{{x + 2}} + \frac{{{x^2} - 2x}}{{4 - {x^2}}}\)...

Đề bài :

Cho biểu thức \(P = \frac{x}{{x - 2}} + \frac{x}{{x + 2}} + \frac{{{x^2} - 2x}}{{4 - {x^2}}}\).

a) Viết điều kiện xác định của P và rút gọn biểu thức đó.

b) Tìm các giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị là số nguyên.

Hướng dẫn giải :

Tìm điều kiện xác định của P, sử dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức để rút gọn.

Biến đổi P để tìm các giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên.

Lời giải chi tiết :

a) Điều kiện xác định của P là: \(x - 2 \ne 0;x + 2 \ne 0\) và \(4 - {x^2} \ne 0\).

Ta có: \({x^2} - 2x = x(x - 2)\) và \(4 - {x^2} = \left( {2 - x} \right)\left( {2 + x} \right)\) nên \(\frac{{{x^2} - 2x}}{{4 - {x^2}}} = \frac{{ - x}}{{x + 2}}\).

Do đó \(P = \frac{x}{{x - 2}} + \frac{x}{{x + 2}} - \frac{x}{{x + 2}} = \frac{x}{{x - 2}}\).

b) \(P = \frac{x}{{x - 2}} = \frac{{x - 2 + 2}}{{x - 2}} = 1 + \frac{2}{{x - 2}}\) nên \(\frac{2}{{x - 2}} = P - 1\).

Nếu \(x \in \mathbb{Z};P \in \mathbb{Z}\) thì x – 2 là ước số nguyên của 2, do đó

\(x - 2 \in \left\{ { - 2; - 1;1;2} \right\}\) hay \(x \in \left\{ {0;1;3;4} \right\}\), cả bốn giá trị này của biến đều thỏa mãn điều kiện xác định của P.

Vậy \(x \in \left\{ {0;1;3;4} \right\}\).