Bài 4.29 trang 82 Toán 9 Kết nối tri thức tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có \(\widehat B = \alpha \) (H. 4. 37)...

Đề bài :

Cho tam giác ABC vuông tại A, có \(\widehat B = \alpha \) (H.4.37).

a) Hãy viết các tỉ số lượng giác \(\sin \alpha ;\cos \alpha \)

b) Sử dụng định lý Pythagore, chứng minh rằng \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)

Hướng dẫn giải :

Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền là \(\sin \alpha \)

Tỉ số giữa cạnh kề với cạnh huyền là \(\cos \alpha \)

Định lý Pythagore: cạnh huyền bình phương bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.

Lời giải chi tiết :

a) Ta có \(\sin \alpha = \frac{{AC}}{{BC}};\cos \alpha = \frac{{AB}}{{BC}}\)

b) Tam giác ABC vuông tại A nên ta có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) (định lý Pythagore)

Nên ta có

\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = {\left( {\frac{{AC}}{{BC}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{AB}}{{AC}}} \right)^2} = \frac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{B{C^2}}} = 1\) (đpcm).