Bài tập 10.11 trang 106 Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức: Cho một hình trụ có đường kính của đáy bằng với chiều cao và có thể tích bằng \(2\pi \;c{m^3}\)...

Đề bài :

Cho một hình trụ có đường kính của đáy bằng với chiều cao và có thể tích bằng \(2\pi \;c{m^3}\).

a) Tính chiều cao của hình trụ.

b) Diện tích toàn phần của hình trụ bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy trụ. Tính diện tích toàn phần của hình trụ trên.

Hướng dẫn giải :

a) + Gọi đường kính đáy của hình trụ là R. Tính bán kính đáy và chiều cao của hình trụ theo R.

+ Tính thể tích hình trụ theo R, cho biểu thức đó bằng \(2\pi \), từ đó giải phương trình tìm R.

b) + Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao h là: \({S_{xq}} = 2\pi Rh\).

+ Diện tích hai đáy hình trụ bán kính R là: \({S_1} = 2.\pi {R^2}\).

+ Diện tích toàn phần hình trụ: \(S = {S_{xq}} + {S_1}\).

Lời giải chi tiết :

a) Gọi đường kính đáy của hình trụ là R (\(R > 0\), cm).

Khi đó, bán kính đáy của hình trụ là \(\frac{R}{2}\left( {cm} \right)\) và chiều cao là R (cm).

Thể tích hình trụ là:

\(V = \pi .{\left( {\frac{R}{2}} \right)^2}.R = \frac{{{R^3}\pi }}{4}\).

Vì thể tích hình trụ bằng \(2\pi \;c{m^3}\) nên ta có: \(\frac{{{R^3}\pi }}{4} = 2\pi \), suy ra \({R^3} = 8\) nên \(R = 2cm\) (do \(R > 0\))

Vậy chiều cao hình trụ là: \(h = 2cm\).

b) Diện tích xung quanh của hình trụ bán kính 1cm và chiều cao 2cm là:

\({S_{xq}} = 2\pi .1.2 = 4\pi \left( {c{m^2}} \right)\).

Diện tích hai đáy của hình trụ bán kính 1cm là:

\({S_1} = 2.\pi {.1^2} = 2\pi \left( {c{m^2}} \right)\).

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

\(S = {S_{xq}} + {S_1} = 4\pi + 2\pi = 6\pi \left( {c{m^2}} \right)\).