Bài 7.55 trang 49 SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống: Cho tam giác ABC với A( {1; - 1}, B {3;5},C {- 2;4} viết phương trình tham số của AB...

Đề bài :

Cho tam giác ABC với \(A\left( {1; - 1} \right),B\left( {3;5} \right),C\left( { - 2;4} \right)\)

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB

b) Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC

c) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC

d) Tính sin của góc giữa hai đường thẳng AB và AC

Phương pháp giải :

+ Phương trình tham số của AB đi qua A và có vector chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \)

+ Phương trình đường cao AH đi qua A và có vector pháp tuyến là \(\overrightarrow {BC} \)

+ Khoảng cách từ 1 điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\) là:

\(d\left( {A,d} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

+ \(\left( {a;b} \right)\) và \(\left( {c;d} \right)\) cùng là vector pháp tuyến hoặc chỉ phương của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\). Góc giữa hai đường thẳng này được tính qua công thức:  \(cos\varphi  = \frac{{\left| {ac + bd} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} \sqrt {{c^2} + {d^2}} }}\)

Lời giải chi tiết :

a) Phương trình tham số của AB đi qua A và có vector chỉ phương là \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;6} \right) = 2\left( {1;3} \right)\)

Phương trình tham số của AB đi qua \(A\left( {1; - 1} \right)\) và có vector chỉ phương là \(\left( {1;3} \right)\) là :\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 1 - 3t\end{array} \right.\)

b) Phương trình đường cao AH đi qua A và có vector pháp tuyến là \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 5; - 1} \right)\) là: \(5\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y + 1} \right) = 0 \Rightarrow 5x + y - 4 = 0\)

c) Viết phương trình đường thẳng BC:

+ \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 5; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{BC}}}  = \left( {1; - 5} \right) \Rightarrow BC:1\left( {x - 3} \right) - 5\left( {y - 5} \right) = 0 \Rightarrow BC:x - 5y + 22 = 0\)

+ \(d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {1 - 5\left( { - 1} \right) + 22} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2}} }} = \frac{{28}}{{\sqrt {26} }} = \frac{{14\sqrt {26} }}{{13}}\)

d) \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;6} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3;5} \right) \Rightarrow cos\left( {AB,AC} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 3} \right) + 6.5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {6^2}} .\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {5^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {85} }}\)

\( \Rightarrow \sin \alpha  = \sqrt {1 - co{s^2}\alpha }  = \frac{7}{{\sqrt {85} }}\)