Bài 7.36 trang 47 SBT Toán 10 Kết nối tri thức với cuộc sống: Cho điểm M( {{x_0};{y_0}} thuộc elip (E) có phương trình...

Đề bài :

Cho điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc elip \(\left( E \right)\) có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)

a) Tính \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2\) theo \({x_0};{y_0}\). Từ đó tính \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2\) theo \({x_0};{y_0}\)

b) Tìm điểm M sao cho \(M{F_2} = 2M{F_1}\)

c) Tìm M sao cho góc nhìn của M tới hai điểm \({F_1},{F_2}\) (tức là góc \(\widehat {{F_1}M{F_2}}\)) là lớn nhất?

Phương pháp giải :

+ Phương trình Elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a > b > 0\) có hai tiêu điểm \({F_1}\left( { - c;0} \right),{F_2}\left( {c;0} \right)\)và có tiêu cự là \(2c\) với \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \)

Lời giải chi tiết :

+ Trong phương trình chính tắc của \(\left( E \right)\) ta có \(a = \sqrt 2 ,b = 1,c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 1\) và hai tiêu điểm \({F_1}\left( { - 1;0} \right),{F_2}\left( {1;0} \right)\)

a) Ta có \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2 = {\left( {{x_0} + 1} \right)^2} + {y_0}^2 - \left[ {{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2} + {y_0}^2} \right] = 4{x_0}\)

+ Ta có \(M \in \left( E \right) \Rightarrow M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2\sqrt 2 \) (1)

\( \Rightarrow M{F_1} - M{F_2} = \frac{{M{F_1}^2 - M{F_2}^2}}{{M{F_1}^2 + M{F_2}^2}} = \frac{{4{x_0}}}{{2\sqrt 2 }} = \sqrt 2 {x_0}\)             (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} = \sqrt 2  + \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}\\M{F_2} = \sqrt 2  - \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\)

b) Ta có: \(M{F_2} = 2M{F_1} \Rightarrow \sqrt 2  - \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }} = 2\left( {\sqrt 2  + \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}} \right) \Rightarrow \frac{{3{x_0}}}{{\sqrt 2 }} =  - \sqrt 2  \Rightarrow {x_0} =  - \frac{2}{3}\)

= \(M \in \left( E \right) \Rightarrow \frac{{{x_0}^2}}{2} + \frac{{{y_0}^2}}{1} \Rightarrow {y_0}^2 = 1 - \frac{{{x_0}^2}}{2} = 1 - \frac{{{{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^2}}}{2} = \frac{7}{9} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_0} = \frac{{\sqrt 7 }}{3}\\{y_0} =  - \frac{{\sqrt 7 }}{3}\end{array} \right.\)

Vậy \(M\left( { - \frac{2}{3};\frac{{\sqrt 7 }}{3}} \right)\) hoặc \(M\left( { - \frac{2}{3}; - \frac{{\sqrt 7 }}{3}} \right)\)

c) Áp dụng định lý cosin trong tam giác \(M{F_1}{F_2}\):

\(cos\widehat {{F_1}M{F_2}} = \frac{{M{F_1}^2 + M{F_2}^2 - {F_1}^2{F_2}^2}}{{2M{F_1}.M{F_2}}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 2  + \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2  - \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} - {2^2}}}{{2\left( {\sqrt 2  + \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}} \right)\left( {\sqrt 2  - \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}} \right)}} = \frac{{{x_0}^2}}{{4 - {x_0}^2}}\)

+ Ta cos: \(\frac{{{x_0}^2}}{2} = 1 - {y_0}^2 \le 1 \Rightarrow 0 \le {x_0}^2 \le 2\)

\( \Rightarrow cos\widehat {{F_1}M{F_2}} \ge 0 \Rightarrow \widehat {{F_1}M{F_2}} \le {90^ \circ }\)

Dấu “=” xảy ra khi \({x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} =  \pm 1\)