Giải mục 3 trang 121, 122 Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức: Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\) và \(g\left( x \right) = - x...

Câu hỏi:

Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\) và \(g\left( x \right) = - x + 1\)

a) Xét tính liên tục của hai hàm số trên tại \(x = 1\)

b) Tính \(L = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 1} \;\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]\) và so sánh L với \(f\left( 1 \right) + g\left( 1 \right)\).

Hướng dẫn giải :

Giả sử hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0}\). Khi đó:

a) Các hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right),\;y = f\left( x \right) - g\left( x \right),\;y = f\left( x \right).g\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0}\)

b) Hàm số \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) liên tục tại \({x_0}\) nếu \(g\left( {{x_0}} \right) \ne 0\)

Lời giải chi tiết :

a)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {x^2} = 1\)

\(f\left( 1 \right) = {1^2} = 1\)

Vậy \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( { - x + 1} \right) = 0\)

\(g\left( 1 \right) = - 1 + 1 = 0\)

Vậy \(g\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\)

b) \(f\left( 1 \right) + g\left( 1 \right) = 1 + 0 = 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} - x + 1} \right) = 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = f\left( 1 \right) + g\left( 1 \right)\)

Câu hỏi:

Một người lái xe từ địa điểm A đến địa điểm B trong thời gian 3 giờ. Biết quãng đường từ A đến B dài 180 km. Chứng tỏ rằng có ít nhất một thời điểm trên hành trình, xe chạy với vận tốc 60 km/h.

Hướng dẫn giải :

Nếu hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right)\)liên tục trên đoạn \(\left[ {a;{\rm{ }}b} \right]\) và \(f\left( a \right){\rm{ }}f\left( b \right){\rm{ }} < {\rm{ }}0\) thì tồn tại ít nhất một điểm \(c \in \left( {a;{\rm{ }}b} \right)\)sao cho \(f\left( c \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

Lời giải chi tiết :

Vận tốc trung bình trên quãng đường đi là: 180: 3 = 60 (km/h)

Vì vận tốc liên tục trong suốt thời gian chạy, có thời điểm vận tốc dưới trung bình và có thời điểm trên mức trung bình nên có ít nhất một thời điểm xe chạy với vận tốc bằng vận tốc trung bình là 60km/h.