Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{4 - {x^2}}}{{x - 2}}\)
a) Tìm tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\)
b) Cho dãy số \({x_n} = 2 + \frac{{1}}{n}\). Rút gọn \(f\left( {{x_n}} \right)\) và tính giới hạn của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = f\left( {{x_n}} \right)\)
c) Với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì sao cho \({x_n} \ne 2\) và \({x_n} \to 2\), tính \(f\left( {{x_n}} \right)\) và tìm \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right)\)
Giả sử \(\left( {a,b} \right)\) là một khoảng chứa điểm \({x_0}\) và hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {a,b} \right)\), có thể trừ điểm \({x_0}\). Ta nói hàm số \(f\left( x \right)\) có giới hạn là số L khi x dần tới \({x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_0}} \right)\) bất kì, ta có \(f\left( {{x_n}} \right) \to L,\) ký hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) hay khi \(x \to {x_0}\)
a) \(D = \mathbb{R}/\left\{ 2 \right\}\;\)
b) \(x_n = 2 + \frac{{1}}{n} = \frac{2n+1}{n}\)
\(f\left( {{x_n}} \right) = \frac{{4 - {{\left( {\frac{{2n + 1}}{4}} \right)}^2}}}{{\frac{{2n + 1}}{n} - 2}} = \frac{{ - \left( {\frac{{2n + 1}}{n} - 2} \right)\left( {\frac{{2n + 1}}{n} + 2} \right)}}{{\frac{{2n + 1}}{n} - 2}} = - \frac{{2n + 1}}{n} - 2\)
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {x_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( { - \frac{{2n + 1}}{n} - 2} \right) = - 4\)
c) \(f\left( {{x_n}} \right) = \frac{{4 - x_n^2}}{{{x_n} - 2}}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = - 4\).
Tính \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 1} \) \(\frac{{x - 1}}{{\sqrt x - 1}}\).
Nếu \(f\left( x \right) \ge 0\) với mọi \(x \in \left( {a,b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) thì \(L \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L \).
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to 1} \frac{{x - 1}}{{\sqrt x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to 1} \left( {\sqrt x + 1} \right) = 2\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x - 1}}\)
a) Cho \({x_n} = 1 - \frac{1}{{n + 1}}\) và \({x’_n} = 1+ \frac{{1}}{n}\). Tính \({y_n} = f\left( {{x_n}} \right)\) và \({y’_n} = f\left( {{{x’}_n}} \right)\)
b) Tìm giới hạn của các dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) và \(\left( {{{y’}_n}} \right)\)
c) Cho các dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) và \(\left( {{{x’}_n}} \right)\) bất kì sao cho \({x_n} < 1 < x{‘_n}\) và \({x_n} \to 1,\;\;\;x{‘_n} \to 1\), tính \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right)\) và \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{n \to + \infty } f\left( {{{x’}_n}} \right)\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {{x_0};b} \right)\). Ta nói số L là giới hạn bên phải của \(f\left( x \right)\) khi \(x \to {x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì thỏa mãn \({x_0} < {x_n} < b\) và \({x_n} \to {x_0}\) ta có \(f\left( {{x_n}} \right) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\). Ta nói số L là giới hạn bên trái của \(f\left( x \right)\) khi \(x \to {x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì thỏa mãn \(a < {x_n} < {x_0}\) và \({x_n} \to {x_0},\) ta có \(f\left( {{x_n}} \right) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\).
a, \({x_n} = 1 - \frac{1}{{n + 1}} = \frac{n}{{n + 1}}\) và \({x’_n} = 1+ \frac{{1}}{n} = \frac{{n + 1}}{n}\)
Với \({x_n} = \frac{n}{{n + 1}} \Rightarrow {y_n} = f\left( {{x_n}} \right) = \frac{{\left| {\frac{n}{{n + 1}} - 1} \right|}}{{\frac{n}{{n + 1}} - 1}}\)
Do \(n < n + 1 \Rightarrow \frac{n}{{n + 1}} < 1 \Rightarrow \frac{n}{{n + 1}} - 1 < 0\)
\( \Rightarrow {y_n} = \frac{{ - \left( {\frac{n}{{n + 1}} - 1} \right)}}{{\frac{n}{{n + 1}} - 1}} = - 1\)
Với \(x{‘_n} = \frac{{n + 1}}{n} \Rightarrow y{‘_n} = f\left( {{x_n}} \right) = \frac{{\left| {\frac{{n + 1}}{n} - 1} \right|}}{{\frac{{n + 1}}{n} - 1}}\)
Do \(n + 1 > n \Rightarrow \frac{{n + 1}}{n} > 1 \Rightarrow \frac{{n + 1}}{n} - 1 > 0\)
\({y_n} = \frac{{\frac{{n + 1}}{n} - 1}}{{\frac{{n + 1}}{n} - 1}} = 1\)
b) \(\lim \left( {{y_n}} \right) = \lim \left( { - 1} \right) = - 1\)
\(\lim \left( {{{y’}_n}} \right) = \lim 1 = 1\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = - 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f(x{‘_n}) = 1\).
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} - x,x < 0\\\sqrt x ,x \ge 0\end{array} \right.\)
Tính \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right),\;\;\;\;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {0^ - }} \;f\left( x \right)\) và \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \;f\left( x \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L\)
Với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì sao cho \(x < 0,\) ta có: \(f\left( {{x_n}} \right) = - {x_n}\)
Do đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = 0 \).
Với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì sao cho \(x \ge 0\) ta có: \(f\left( {{x_n}} \right) = \sqrt x \)
Do đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = 0 \).
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = 0 \) suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 0\).
Để học tốt môn Toán, chúng ta cần có sách giáo khoa, vở bài tập, bút chì, bút mực, thước kẻ, compa, máy tính cầm tay và giấy nháp.
Toán học, được ví như "ngôn ngữ của vũ trụ", không chỉ là môn học về số và hình học. Đó là lĩnh vực nghiên cứu trừu tượng về các cấu trúc, không gian và phép biến đổi, góp phần quan trọng vào việc giải mã các hiện tượng tự nhiên và phát triển công nghệ.
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưLớp 11 - Năm học quan trọng, bắt đầu hướng đến những mục tiêu sau này. Hãy học tập chăm chỉ và tìm ra đam mê của mình để có những lựa chọn đúng đắn cho tương lai!'
- Học nhưng cũng chú ý sức khỏe nhé!. Chúc các bạn học tập tốt.
Nguồn : Sưu tậpCopyright © 2024 Hoc Sinh 247