Bài 23 trang 107 Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) biết rằng ba số \({u_1}...

Đề bài :

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) biết rằng ba số \({u_1},{u_4}\) và \({u_7}\) lần lượt là các số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ mười của một cấp số cộng có công sai \(d \ne 0\). Hãy tìm công bội \(q\) của cấp số nhân đó.

Hướng dẫn giải :

- Số hạng tổng quát của cấp số nhân \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\)

- Số hạng tổng quát của cấp số cộng \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)

Lời giải chi tiết :

Cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_4} = {u_1}.{q^3};{u_7} = {u_1}.{q^6}\)

Vì ba số \({u_1},{u_4}\) và \({u_7}\) lần lượt là các số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ mười của một cấp số cộng có công sai d nên ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = {u_1}{q^3} = {u_1} + d\\{u_7} = {u_1}{q^6} = {u_1} + 9d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {{q^3} - 1} \right) = d\\{u_1}\left( {{q^6} - 1} \right) = 9d\end{array} \right.\)

Do \(d \ne 0\) nên \(9 = \frac{{9d}}{d} = \frac{{{u_1}\left( {{q^6} - 1} \right)}}{{{u_1}\left( {{q^3} - 1} \right)}} = {q^3} + 1 \Leftrightarrow {q^3} = 8 \Leftrightarrow q = 2\)