Bài 1.21 trang 32 Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau...

Đề bài :

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:a) \(y = - {x^3} + 3x + 1\);b) \(y = {x^3} + 3{x^2} - x - 1\).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về sơ đồ khảo sát hàm số bậc ba để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

Sơ đồ khảo sát hàm số bậc ba

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:

+ Tính đạo hàm y’. Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

+ Xét dấu y’ để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.

+ Tìm cực trị của hàm số.

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực.

+ Lập bảng biến thiên của hàm số.

3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.

Lời giải chi tiết :

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

2. Sự biến thiên:

Ta có: \(y’ = - 3{x^2} + 3,y’ = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\)

Trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\), \(y’ > 0\) nên hàm số đồng biến. Trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\), \(y’ < 0\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\), giá trị cực đại . Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 1\), giá trị cực tiểu \({y_{CT}} = - 1\)

Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^3} + 3x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^3}\left( { - 1 + \frac{3}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = + \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^3} + 3x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^3}\left( { - 1 + \frac{3}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = - \infty \)

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = - {x^3} + 3x + 1\) với trục tung là (0; 1).

Các điểm (1; 3); \(\left( { - 1; - 1} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = - {x^3} + 3x + 1\).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (0; 1).

b) 1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

2. Sự biến thiên:

Ta có: \(y’ = 3{x^2} + 6x - 1,y’ = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 3 - 2\sqrt 3 }}{3}\) hoặc \(x = \frac{{ - 3 + 2\sqrt 3 }}{3}\)

Trên khoảng \(\left( {\frac{{ - 3 - 2\sqrt 3 }}{3};\frac{{ - 3 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right)\), \(y’ < 0\) nên hàm số nghịch biến. Trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{{ - 3 - 2\sqrt 3 }}{3}} \right)\) và \(\left( {\frac{{ - 3 + 2\sqrt 3 }}{3}; + \infty } \right)\), \(y’ > 0\) nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại \(x = \frac{{ - 3 - 2\sqrt 3 }}{3}\), giá trị cực đại . Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \frac{{ - 3 + 2\sqrt 3 }}{3}\), giá trị cực tiểu \({y_{CT}} = \frac{{18 - 16\sqrt 3 }}{9}\).

Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} + 3{x^2} - x - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^3}\left( {1 + \frac{3}{x} - \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} + 3{x^2} - x - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^3}\left( {1 + \frac{3}{x} - \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = + \infty \)

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - x - 1\) với trục tung là (0; -1).

Các điểm (-1; 2); \(\left( {1;2} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - x - 1\).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (-1; 2).