Bài tập 5.20 trang 53 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}...

Đề bài :

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 - t\\z = 2 + 3t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{x + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}\).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về góc giữa hai đường thẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta ‘\) tương ứng có các vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right),\overrightarrow {u’} = \left( {a’;b’;c’} \right)\). Khi đó: \(\cos \left( {\Delta ,\Delta ‘} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right)} \right| = \frac{{\left| {aa’ + bb’ + cc’} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {a{‘^2} + b{‘^2} + c{‘^2}} }}\).

Lời giải chi tiết :

Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 1;3} \right)\), đường thẳng \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;1;2} \right)\).

Do đó: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) - 1.1 + 3.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{{\sqrt {21} }}{{14}}\)

Suy ra: \(\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) \approx 70,{9^o}\)