Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa \(\cos \left( {\Delta ,\Delta ‘} \right)\) và \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right)} \right|\)?...

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta ‘\) tương ứng có các vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right),\overrightarrow {u’} = \left( {a’;b’;c’} \right)\). (H.5.34).

a) Hãy tìm mối quan hệ giữa các góc \(\left( {\Delta ,\Delta ‘} \right)\) và \(\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right)\).

b) Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa \(\cos \left( {\Delta ,\Delta ‘} \right)\) và \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right)} \right|\)?

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức giá của vectơ để chứng minh: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ được gọi là giá của vectơ đó.

Lời giải chi tiết :

a) Vì \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {u’} \) lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta ‘\). Do đó, giá của \(\overrightarrow u \) song song với \(\Delta \), giá của \(\overrightarrow {u’} \) song song với \(\Delta ‘\). Do đó:

+) \(\left( {\Delta ,\Delta ‘} \right) = \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right)\) nếu \(\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right) \le {90^o}\)

+) \(\left( {\Delta ,\Delta ‘} \right) = {180^o} - \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right)\) nếu \(\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right) > {90^o}\)

b) Ta có: \(\cos \left( {\Delta ,\Delta ‘} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right)} \right|\).