Vị trí \(M\left( {\cos t - \sin t,\cos t + \sin t,\cos t} \right)\) có luôn thuộc mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) hay không?...

Trong tình huống mở đầu, hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra.

a) Xác định tọa độ của vị trí \({M_1},{M_2},{M_3}\) của vật tương ứng với các thời điểm \(t = 0,t = \frac{\pi }{2},t = \pi \).

b) Chứng minh rằng \({M_1},{M_2},{M_3}\) không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\).

c) Vị trí \(M\left( {\cos t - \sin t,\cos t + \sin t,\cos t} \right)\) có luôn thuộc mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) hay không?

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng để viết: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \)

+ Tìm vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và biết vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \).

Lời giải chi tiết :

a) Với \(t = 0\) ta có: \({M_1}\left( {1;1;1} \right)\)

Với \(t = \frac{\pi }{2}\) ta có: \({M_2}\left( { - 1;1;0} \right)\)

Với \(t = \pi \) ta có: \({M_3}\left( { - 1; - 1; - 1} \right)\)

b) Hai vectơ \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \left( { - 2;0; - 1} \right),\overrightarrow {{M_1}{M_3}} \left( { - 2; - 2; - 2} \right)\) không cùng phương nên ba điểm \({M_1},{M_2},{M_3}\) không thẳng hàng.

c) Mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) có cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \left( { - 2;0; - 1} \right),\overrightarrow {{M_1}{M_3}} \left( { - 2; - 2; - 2} \right)\) nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right]\).

Ta có: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 2}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&0\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 2; - 2;4} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( { - 2; - 2;4} \right)\) và đi qua điểm \({M_2}\left( { - 1;1;0} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) là:

\( - 2\left( {x + 1} \right) - 2\left( {y - 1} \right) + 4z = 0 \Leftrightarrow x + 1 + y - 1 - 2z = 0 \Leftrightarrow x + y - 2z = 0\) (1)

c) Với \(M\left( {\cos t - \sin t,\cos t + \sin t,\cos t} \right)\) thay vào (1) ta có:

$\cos t-\sin t+\cos t+\sin t-2\cos t=0\Leftrightarrow 0=0\left( L D\right)$

Vậy \(M\left( {\cos t - \sin t,\cos t + \sin t,\cos t} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\). Do đó, vật thể M luôn chuyển động trong một mặt phẳng cố định.