Một điểm M(x; y; z) thuộc \(\left( \alpha \right)\) khi và chỉ hai vectơ \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {{M_o}M} \) có mối quan hệ gì?...

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Gọi \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là một điểm thuộc \(\left( \alpha \right)\).

a) Một điểm M(x; y; z) thuộc \(\left( \alpha \right)\) khi và chỉ hai vectơ \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {{M_o}M} \) có mối quan hệ gì?

b) Một điểm M(x; y; z) thuộc \(\left( \alpha \right)\) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức nào?

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về tích vô hướng của 2 vectơ để chứng minh: Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của 2 vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x’;y’;z’} \right)\) được xác định bởi công thức: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = xx’ + yy’ + zz’\).

Lời giải chi tiết :

a) Một điểm M(x; y; z) thuộc \(\left( \alpha \right)\) khi và chỉ hai vectơ \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {{M_o}M} \) vuông góc với nhau.

b) Ta có: \(\overrightarrow {{M_o}M} = \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)\). Vì M(x; y; z) thuộc \(\left( \alpha \right)\) thì \(\overrightarrow n \bot \overrightarrow {{M_o}M} \).

Suy ra: \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)

Vậy điểm M(x; y; z) thuộc \(\left( \alpha \right)\) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).