Bài 13 trang 65 SBT Toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Trên cạnh AB lấy điểm D...

Đề bài :

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho \(\widehat {ADE} = \widehat {ACB}\).

a) Chứng minh rằng $\Delta AED\backsim \Delta ABC$.

b) Tia phân giác của góc BAC cắt DE tại M và cắt BC tại N. Chứng minh rằng \(ME.NC = MD.NB\)

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về trường hợp đồng dạng thứ ba của hai tam giác (g.g) để chứng minh: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

a) Xét tam giác AED và tam giác ABC có:

\(\widehat A\;chung,\widehat {ADE} = \widehat {ACB}\) (giả thiết)

Do đó, $\Delta AED\backsim \Delta ABC\left( g.g \right)$

b) Vì AM là tia phân giác của góc DAE nên \(\frac{{ME}}{{MD}} = \frac{{AE}}{{AD}}\)

Vì AN là tia phân giác của góc BAC nên \(\frac{{NB}}{{NC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\)

Mà $\Delta AED\backsim \Delta ABC\left( cmt \right)$ nên \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AC}}\) hay \(\frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{AB}}{{AC}}\)

Do đó, \(\frac{{ME}}{{MD}} = \frac{{NB}}{{NC}}\). Vậy \(ME.NC = MD.NB\)