Bài 10 trang 45 Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo: Cho bốn điểm (Aleft( {7; - 3} right),Bleft( {8;4} right),Cleft( {1;5} right),...

Đề bài :

Cho bốn điểm \(A\left( {7; - 3} \right),B\left( {8;4} \right),C\left( {1;5} \right),D\left( {0; - 2} \right)\). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông

Phương pháp giải :

Bước 1: Tính độ dài các cạnh thông qua độ dài vecto => tứ giác là hình thoi

Bước 2: Chỉ ra một góc vuông thông qua tích vô hướng => đpcm

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (1;7),\overrightarrow {AD}  = ( - 7;1),\overrightarrow {CD}  = ( - 1; - 7)\),\(\overrightarrow {BC}  = ( - 7;1)\)

Suy ra \(AB = \overrightarrow {AB}  = \sqrt {{1^2} + {7^2}}  = 5\sqrt 2 ,AD = \overrightarrow {AD}  = \sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2} + {1^2}}  = 5\sqrt 2 ,\)

          \(CD = \overrightarrow {CD}  = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 7} \right)}^2}}  = 5\sqrt 2 \),\(BC = \overrightarrow {BC}  = \sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = 5\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow AB = BC = CD = DA = 5\sqrt 2 \) (1)

Mặt khác ta có

\(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} }}{{AB.AD}} = \frac{{1.( - 7) + 7.1}}{{5\sqrt 2 .5\sqrt 2 }} = 0 \Rightarrow \widehat A = 90^\circ \) (2)

Từ (1) và(2) suy ra ABCD là hình vuông (đpcm)