Bài 5 trang 19 SBT toán 10 Chân trời sáng tạo: Khoảng cách từ nhà An ở vị trí N đến cột điện C là 10 m. Từ nhà, A...

Đề bài :

Khoảng cách từ nhà An ở vị trí N đến cột điện C là 10 m. Từ nhà, An đi x mét theo phương tạo với NC một góc \(60^\circ \) đến vị trí A sau đó đi tiếp 3 m đến vị trí B như hình 1.

a)  Biểu diễn khoảng cách AC và BC theo x 

b) Tìm x để \(AC = \frac{8}{9}BC\)

c) Tìm x để khoảng cách \(BC = 2AN\)

Phương pháp giải :

_{a) Sử dụng định lí côsin} \(a = \sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos A} \)

_{b) Lập phương trình dựa vào kết quả của câu a) và giải phương trình}

_{c) Lập phương liên quan và giải phương trình}

Lời giải chi tiết :

_{a) Áp dụng đính lí côsin trong tam giác ANC ta có:}

\(\begin{array}{l}AC = \sqrt {A{N^2} + N{C^2} - 2AN.NC.\cos \widehat N}  = \sqrt {{x^2} + {{10}^2} - 2x.10.\cos 60^\circ } \\ = \sqrt {{x^2} - 10x + 100} \end{array}\)

_{Áp dụng đính lí côsin trong tam giác BNC ta có:}

\(\begin{array}{l}BC = \sqrt {B{N^2} + N{C^2} - 2BN.NC.\cos \widehat N}  = \sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2} + {{10}^2} - 2\left( {x + 3} \right).10.\cos 60^\circ } \\ = \sqrt {{x^2} - 4x + 79} \end{array}\)

_{b) Ta có:} \(AC = \frac{8}{9}BC\) _hay

\(\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} - 10x + 100}  = \frac{8}{9}\sqrt {{x^2} - 4x + 79} \\ \Rightarrow {x^2} - 10x + 100 = \frac{{64}}{{81}}\left( {{x^2} - 4x + 79} \right)\\ \Rightarrow \frac{{17}}{{81}}{x^2} - \frac{{554}}{{81}}x + \frac{{3044}}{{81}} = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow x \simeq 7\) _hoặc \(x \simeq 25,6\)

_{Thay hai giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn}

_{Vậy khi} \(x \simeq 7\) _hoặc \(x \simeq 25,6\) _thì \(AC = \frac{8}{9}BC\)

_{c) Yêu cầu bài toán tương đương}

\(\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} - 4x + 79}  = 2x\\ \Rightarrow {x^2} - 4x + 79 = 4{x^2}\\ \Rightarrow 3{x^2} + 4x - 79 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow x = \frac{{ - 2 - \sqrt {241} }}{3}\) _hoặc \(x = \frac{{ - 2 + \sqrt {241} }}{3}\)

_{Mà vì} \(x \ge 0\) _nên  \(x = \frac{{ - 2 + \sqrt {241} }}{3}\)

_{Vậy khi} \(x = \frac{{ - 2 + \sqrt {241} }}{3}\) _thì \(BC = 2AN\)