Bài 3 trang 9 SBT toán 10 Chân trời sáng tạo: Tìm các giá trị của tham số m để:...

Đề bài :

Tìm các giá trị của tham số m để:

a) \(f\left( x \right) = \left( {{m^2} + 9} \right){x^2} + \left( {m + 6} \right)x + 1\) là một tam thức bậc hai có một nghiệm duy nhất

b) \(f\left( x \right) = \left( {m - 1} \right){x^2} + 3x + 1\) là một tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt

c) \(f\left( x \right) = m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 1\) là một tam thức bậc hai vô nghiệm

Phương pháp giải :

Sử dụng biệt thức delta \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)

          Nếu \(\Delta  < 0\) suy ra phương trình vô nghiệm

          Nếu \(\Delta  = 0\) suy ra phương trình có nghiệm kép

          Nếu \(\Delta  > 0\) suy ra phương trình hai nghiệm phân biệt

Lời giải chi tiết :

a) Để \(f\left( x \right)\) là tam thức bậc hai thì \({m^2} + 9 \ne 0\) đúng với mọi \(m \in \mathbb{R}\)

Mặt khác, tam thức trên có một nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(\Delta  = 0\)

hay \({\left( {m + 6} \right)^2} - 4.\left( {{m^2} + 9} \right) = 0 \Rightarrow  - 3{m^2} + 12m = 0\) suy ra \(m = 0\) hoặc \(m = 4\)

Vậy khi \(m = 0\) hoặc \(m = 4\) thì \(f\left( x \right) = \left( {{m^2} + 9} \right){x^2} + \left( {m + 6} \right)x + 1\) là một tam thức bậc hai có một nghiệm duy nhất

b) Để \(f\left( x \right)\) là tam thức bậc hai thì \(m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1\)     (*)

Mặt khác, tam thức trên có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta  > 0\)

hay \({3^2} - 4.\left( {m - 1} \right) > 0 \Rightarrow  - 4m + 13 > 0 \Leftrightarrow m < \frac{{13}}{4}\)        (**)

Kết hợp (*) và (**) ta được \(m \in \left( { - \infty ;\frac{{13}}{4}} \right)\backslash 1\)

Vậy khi \(m \in \left( { - \infty ;\frac{{13}}{4}} \right)\backslash 1\) thì \(f\left( x \right) = \left( {m - 1} \right){x^2} + 3x + 1\) là một tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt

c) Để \(f\left( x \right)\) là tam thức bậc hai thì \(m \ne 0\)           

Mặt khác, tam thức trên vô nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta  < 0\)

hay \({\left( {m + 2} \right)^2} - 4m < 0 \Rightarrow {m^2} + 4 < 0\)

Ta có \({m^2} \ge 0\;\forall m \in \mathbb{R} \Rightarrow {m^2} + 4 \ge 4 > 0\;\forall m \in \mathbb{R}\),

Vậy không có giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán