Bài 7 trang 41 Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Trong Hình 10, ngọn đèn trên hải đăng H cách bờ biển yy’ một khoảng HO = 1 km...

Đề bài :

Trong Hình 10, ngọn đèn trên hải đăng H cách bờ biển yy’ một khoảng HO = 1 km. Đèn xoay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ \(\frac{\pi }{{10}}\)rad/s và chiếu hai luồng ánh sáng về phía đối diện nhau. Khi đèn xoay, điểm M mà luồng ánh sáng của hải đăng rọi vào bờ biển chuyển dộng dọc theo bờ.

(Theo https://www.mnhs.org/splitrock/learn/technology)

a) Ban đầu luồng sáng trùng với đường thẳng HO. Viết hàm số biểu thị toạ độ \({y_M}\) của điểm M trên trục Oy theo thời gian t.

b) Ngôi nhà N nằm trên bờ biển với toạ độ \({y_N} = - 1\;\left( {km} \right).\) Xác định các thời điểm t mà đèn hải đăng chiếu vào ngôi nhà.

Hướng dẫn giải :

a, Dựa vào đề bài để viếthàm số biểu thị toạ độ \({y_M}\) .

b, Phương trình \(\tan x = m\)có nghiệm với mọi m.

Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) thoả mãn \(\tan \alpha = m\). Khi đó:

\(\tan {\rm{x}} = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)

Lời giải chi tiết :

a) Sau t giây điểm M quét được một góc lượng giác có số đo là: \(\alpha = \frac{\pi }{{10}}t\) rad.

Xét tam giác HOM vuông tại O có:

\(MO = tan\alpha .1 = \tan \left( {\frac{\pi }{{10}}t} \right)\).

Vậy tọa độ \({y_M} = \tan \left( {\frac{\pi }{{10}}t} \right)\).

b) Xét \(\tan \left( {\frac{\pi }{{10}}t} \right) = - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \tan \left( {\frac{\pi }{{10}}t} \right) = \tan \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{10}}t = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\ \Leftrightarrow t = - \frac{5}{2} + 10k,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)

Vì \(t \ge 0\) nên tại các thời điểm \(t = - \frac{5}{2} + 10k,k \in \mathbb{Z},k \ge 1\) thì đèn hải đăng chiếu vào ngôi nhà.