Bài 5 trang 56 Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), biết...

Đề bài :

Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), biết:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} - {u_1} = 20\\{u_2} + {u_5} = 54\end{array} \right.\);

b) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} + {u_3} = 0\\{u_2} + {u_5} = 80\end{array} \right.\);

c) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} - {u_2} = 3\\{u_8}.{u_3} = 24\end{array} \right.\).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) thì số hạng tổng quát là: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d,n \ge 2\), sau đó đưa về giải hệ phương trình.

Lời giải chi tiết :

a)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_3} - {u_1} = 20\\{u_2} + {u_5} = 54\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{u_1} + 2{\rm{d}}} \right) - {u_1} = 20\\\left( {{u_1} + d} \right) + \left( {{u_1} + 4{\rm{d}}} \right) = 54\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2{\rm{d}} - {u_1} = 20\\{u_1} + d + {u_1} + 4{\rm{d}} = 54\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{\rm{d}} = 20\\2{u_1} + 5{\rm{d}} = 54\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 10\\2{u_1} + 5.10 = 54\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 10\\{u_1} = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 2\) và công sai \(d = 10\).

b)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_2} + {u_3} = 0\\{u_2} + {u_5} = 80\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{u_1} + d} \right) + \left( {{u_1} + 2d} \right) = 0\\\left( {{u_1} + d} \right) + \left( {{u_1} + 4d} \right) = 80\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + d + {u_1} + 2d = 0\\{u_1} + d + {u_1} + 4d = 80\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 3d = 0\\2{u_1} + 5d = 80\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 60\\d = 40\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = - 60\) và công sai \(d = 40\).

c)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {{u_1} + 4d} \right) - \left( {{u_1} + d} \right) = 3\\\left( {{u_1} + 7d} \right).\left( {{u_1} + 2d} \right) = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d - {u_1} - d = 3\\\left( {{u_1} + 7d} \right).\left( {{u_1} + 2d} \right) = 24\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3d = 3\\\left( {{u_1} + 7d} \right).\left( {{u_1} + 2d} \right) = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 1\left( 1 \right)\\\left( {{u_1} + 7d} \right).\left( {{u_1} + 2d} \right) = 24\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Thế (1) vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}\left( {{u_1} + 7.1} \right).\left( {{u_1} + 2.1} \right) = 24 \Leftrightarrow \left( {{u_1} + 7} \right).\left( {{u_1} + 2} \right) = 24\\ \Leftrightarrow u_1^2 + 7{u_1} + 2{u_1} + 14 = 24 \Leftrightarrow u_1^2 + 9{u_1} - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = - 10\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy có hai cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn:

‒ Cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công sai \(d = 1\).

‒ Cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = - 10\) và công sai \(d = 1\).