1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
Cho khoảng K chứa điểm \({x_0}\)và hàm số \(y = f(x)\) xác định trên K hoặc trên \(K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\). Ta nói hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn hữu hạn là số L khi \(x\) dần tới \({x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì, \({x_n} \in K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) và \({x_n} \to {x_0}\), ta có\(f({x_n}) \to L\)
Kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\), khi \({x_n} \to {x_0}\).
2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số
a, Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = M\) thì
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x) \pm g(x)} \right] = L \pm M\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x).g(x)} \right] = L.M\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {\frac{{f(x)}}{{g(x)}}} \right] = \frac{L}{M}\left( {M \ne 0} \right)\)
b, Nếu \(f(x) \ge 0\) với mọi \(x \in \left( {a;b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\) thì \(L \ge 0\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f(x)} = \sqrt L \).
* Nhận xét:
\(\begin{array}{l}a,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {x^k} = {x_0}^k,k \in {\mathbb{Z}^ + }.\\b,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {c.f(x)} \right] = c.\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\end{array}\)
(\(c \in \mathbb{R}\), nếu tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) \in \mathbb{R}\))
3. Giới hạn một phía
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( {{x_0};b} \right)\).
Ta nói \(y = f(x)\) có giới hạn bên phải là số L khi \(x \to {x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì,\({x_0} < {x_n} < b\) và \({x_n} \to {x_0}\)ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = L\).
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\).
Ta nói \(y = f(x)\)có giới hạn bên phải là số L khi \(x \to {x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì,\(a < {x_n} < {x_0}\) và \({x_n} \to {x_0}\)ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = L\).
*Chú ý:
4. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( {a; + \infty } \right)\). Ta nói hàm số \(f(x)\)có giới hạn là số L khi \(x \to + \infty \) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì \({x_n} > a\) và \({x_n} \to + \infty \)ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\) khi \(x \to + \infty \).
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( { - \infty ;a} \right)\). Ta nói hàm số \(f(x)\) có giới hạn là số L khi \(x \to - \infty \) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì \({x_n} < a\) và \({x_n} \to - \infty \)ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\) khi \(x \to - \infty \).
* Nhận xét:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c = c,\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } (\frac{c}{{{x^k}}}) = 0\)
5. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm
- Cho hàm số \(y = f(x)\)xác định trên khoảng \(\left( {{x_0};b} \right)\).
Ta nói hàm số \(f(x)\) có giới hạn bên phải là \( + \infty \) khi \(x \to {x_0}\) về bên phải nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì thỏa mãn \({x_0} < {x_n} < b\) và \({x_n} \to {x_0}\) ta có \(f({x_n}) \to + \infty \), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = + \infty \)
Ta nói hàm số \(f(x)\) ó giới hạn bên phải là \( - \infty \) khi \(x \to {x_0}\) về bên trái nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì thỏa mãn \(a < {x_n} < {x_0}\) và \({x_n} \to {x_0}\) ta có \(f({x_n}) \to + \infty \), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = + \infty \)
Các giới hạn một bên\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = - \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = - \infty \) được định nghĩa tương tự.
* Chú ý:
Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = L \ne 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } g(x) = + \infty \)hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } g(x) = - \infty \)thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } \left[ {f(x).g(x)} \right]\) được tính như sau:
Các quy tắc trên vẫn đúng khi thay \({x_0}^ + \)thành \({x_0}^ - \)(hoặc \( + \infty \),\( - \infty \))
Để học tốt môn Toán, chúng ta cần có sách giáo khoa, vở bài tập, bút chì, bút mực, thước kẻ, compa, máy tính cầm tay và giấy nháp.
Toán học, được ví như "ngôn ngữ của vũ trụ", không chỉ là môn học về số và hình học. Đó là lĩnh vực nghiên cứu trừu tượng về các cấu trúc, không gian và phép biến đổi, góp phần quan trọng vào việc giải mã các hiện tượng tự nhiên và phát triển công nghệ.
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưLớp 11 - Năm học quan trọng, bắt đầu hướng đến những mục tiêu sau này. Hãy học tập chăm chỉ và tìm ra đam mê của mình để có những lựa chọn đúng đắn cho tương lai!'
- Học nhưng cũng chú ý sức khỏe nhé!. Chúc các bạn học tập tốt.
Nguồn : Sưu tậpCopyright © 2024 Hoc Sinh 247