Bài 3 trang 112 Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: \(MNPQ\) là hình gì?...

Đề bài :

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành và một điểm \(M\) di động trên cạnh \(AD\). Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua \(M\), song song với \(C{\rm{D}}\) và \(SA\), cắt \(BC,SC,SD\) lần lượt tại \(N,P,Q\).

a) \(MNPQ\) là hình gì?

b) Gọi \(I = MQ \cap NP\). Chứng minh rằng \(I\) luôn luôn thuộc một đường thẳng cố định khi \(M\) di động trên \(AD\).

Hướng dẫn giải :

Áp dụng định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

Lời giải chi tiết :

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}MN = \left( \alpha \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\C{\rm{D}} = \left( {SC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\PQ = \left( \alpha \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right)\\MN\parallel C{\rm{D}}\end{array}\)

Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: \(MN\parallel C{\rm{D}}\parallel PQ\).

\( \Rightarrow MNPQ\) là hình bình hành.

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}I \in MQ \Rightarrow I \in \left( {SA{\rm{D}}} \right)\\I \in NP \Rightarrow I \in \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow I \in \left( {SA{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SBC} \right)\\ \Rightarrow SI = \left( {SA{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SBC} \right)\\A{\rm{D}} = \left( {SA{\rm{D}}} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\BC = \left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\BC\parallel A{\rm{D}}\end{array}\)

Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: \(A{\rm{D}}\parallel BC\parallel SI\).

Vậy \(I\) luôn luôn thuộc đường thẳng \(d\) đi qua \(S\) song song với \(AD\) và \(BC\) cố định khi \(M\) di động trên \(AD\).