Bài 2 trang 56 Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo: Cho tứ diện đều \(ABCD\). Chứng minh rằng \(AB \bot CD\)...

Đề bài :

Cho tứ diện đều \(ABCD\). Chứng minh rằng \(AB \bot CD\).

Hướng dẫn giải :

Cách xác định góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\):

Bước 1: Lấy một điểm \(O\) bất kì.

Bước 2: Qua điểm \(O\) dựng đường thẳng \(a’\parallel a\) và đường thẳng \(b’\parallel b\).

Bước 3: Tính \(\left( {a,b} \right) = \left( {a’,b’} \right)\).

Lời giải chi tiết :

Giả sử tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(AC,BC,A{\rm{D}}\).

\(M\) là trung điểm của \(AC\)

\(N\) là trung điểm của \(BC\)

\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\)

\( \Rightarrow MN\parallel AB,MN = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\)

\(M\) là trung điểm của \(AC\)

\(P\) là trung điểm của \(AD\)

\( \Rightarrow MP\) là đường trung bình của tam giác \(AC{\rm{D}}\)

\( \Rightarrow MP\parallel C{\rm{D,MP}} = \frac{1}{2}C{\rm{D}} = \frac{a}{2}\)

Ta có: \(MN\parallel AB,MP\parallel C{\rm{D}} \Rightarrow \left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = \left( {MN,MP} \right) = \widehat {NMP}\)

Ta có: \(BP\) là trung tuyến của tam giác \(ABD\)\( \Rightarrow BP = \frac{{\sqrt {2\left( {A{B^2} + B{{\rm{D}}^2}} \right) - A{{\rm{D}}^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(CP\) là trung tuyến của tam giác \(ACD\)\( \Rightarrow CP = \frac{{\sqrt {2\left( {A{C^2} + C{{\rm{D}}^2}} \right) - A{{\rm{D}}^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(NP\) là trung tuyến của tam giác \(BCP\)\( \Rightarrow NP = \frac{{\sqrt {2\left( {B{P^2} + C{{\rm{P}}^2}} \right) - B{C^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Xét tam giác \(MNP\) có:

\(\cos \widehat {NMP} = \frac{{M{N^2} + M{P^2} - N{P^2}}}{{2.MN.MP}} = 0 \Rightarrow \widehat {NMP} = {90^ \circ }\)

Vậy \(\left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = {90^ \circ }\).