Bài 7 trang 90 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = x - 1\) và \(g\left( x \right) = {x^2} - 3x...

Đề bài :

Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = x - 1\) và \(g\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2\). Xét tính liên tục của các hàm số:

a) \(y = f\left( x \right).g\left( x \right)\);

b) \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\);

c) \(y = \frac{1}{{\sqrt {f\left( x \right) + g\left( x \right)} }}\).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về tổng, hiệu, tích thương của hàm số liên tục để xét tính liên tục của các hàm số: Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0}\). Khi đó:

a) Hàm số \(y = f\left( x \right).g\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0}\).

b) Hàm số \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(g\left( {{x_0}} \right) \ne 0\).

c) Hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {f\left( x \right) + g\left( x \right)} }}\) liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(f\left( {{x_0}} \right) + g\left( {{x_0}} \right) > 0\).

Lời giải chi tiết :

Vì các hàm số \(f\left( x \right) \) \( = x - 1\) và \(g\left( x \right) \) \( = {x^2} - 3x + 2\) là các hàm đa thức nên f(x) và g(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

a) Vì f(x) và g(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số \(y \) \( = f\left( x \right).g\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

b) Hàm số \(y \) \( = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) xác định khi \({x^2} - 3x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne 2\end{array} \right.\)

Do đó, hàm số \(y \) \( = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) có tập xác định là \(D \) \( = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1;2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).

Vậy hàm số \(y \) \( = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\), \(\left( {1;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

c) Hàm số \(y \) \( = \frac{1}{{\sqrt {f\left( x \right) + g\left( x \right)} }}\) xác định khi \(f\left( x \right) + g\left( x \right) > 0\)

Suy ra: \({x^2} - 3x + 2 + x - 1 > 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 > 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1\)

Do đó, hàm số \(y \) \( = \frac{1}{{\sqrt {f\left( x \right) + g\left( x \right)} }}\) có tập xác định là \(D \) \( = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).

Vậy hàm số \(y \) \( = \frac{1}{{\sqrt {f\left( x \right) + g\left( x \right)} }}\) liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).