Bài 2 trang 121 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là...

Đề bài :

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là O và O’.

a) Chứng minh OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).

b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc hai cạnh AF, AD sao cho \(AM = \frac{1}{3}AF,\) \(AN = \frac{1}{3}AD\). Chứng minh MN//(DCEF).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng để chứng minh: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng b nào đó nằm trong (P) thì a song song với (P).

Lời giải chi tiết :

a) Vì O, O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và ABEF nên O là trung điểm của BD, AC và O’ là trung điểm của BF, AE.

Vì O là trung điểm của BD, O’ là trung điểm của BF nên OO’ là đường trung bình của tam giác BDF. Do đó, OO’//DF (1)

Vì O là trung điểm của AC, O’ là trung điểm của AE nên OO’ là đường trung bình của tam giác ACE. Do đó, OO’//CE (2)

Từ (1) và (2) ta có: OO’//DF//CE

Vì OO’//DF, OO’ không nằm trên mặt phẳng (ADF) và \(DF \subset \left( {ADF} \right)\) nên OO’//(ADF).

Vì OO’//CE, OO’ không nằm trên mặt phẳng (BCE) và \(CE \subset \left( {BCE} \right)\) nên OO’//(BCE).

b) Vì \(AM = \frac{1}{3}AF,AN = \frac{1}{3}AD \Rightarrow \frac{{AM}}{{AF}} = \frac{{AN}}{{AD}} = \frac{1}{3}\)

Tam giác ADF có: \(\frac{{AM}}{{AF}} = \frac{{AN}}{{AD}} = \frac{1}{3}\) nên MN//DF (định lý Thalès đảo)

Vì MN//DF, MN không nằm trên mặt phẳng (DCEF) và \(DF \subset \left( {DCEF} \right)\) nên MN//(DCEF).