Bài 2 trang 22 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2: Giải các phương trình sau: \({\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 3\); \({\log _{49}}x = 0...

Đề bài :

Giải các phương trình sau:

a) \({\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 3\);

b) \({\log _{49}}x = 0,25\);

c) \({\log _2}\left( {3x + 1} \right) = {\log _2}\left( {2x - 4} \right)\);

d) \({\log _5}\left( {x - 1} \right) + {\log _5}\left( {x - 3} \right) = {\log _5}\left( {2x + 10} \right)\);

e) \(\log x + \log \left( {x - 3} \right) = 1\);

g) \({\log _2}\left( {{{\log }_{81}}x} \right) = - 2\).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về giải phương trình lôgarit để giải phương trình:

\({\log _a}x = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\)

Phương trình luôn có nghiệm duy nhất là \(x = {a^b}\).

Chú ý: Với \(a > 0,a \ne 1\) thì \({\log _a}u\left( x \right) = b \Leftrightarrow u\left( x \right) = {a^b}\), \({\log _a}u\left( x \right) = {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) = v\left( x \right)\end{array} \right.\) (có thể thay \(u\left( x \right) > 0\) bằng \(v\left( x \right) > 0\))

Lời giải chi tiết :

a) Điều kiện: \(2x - 1 > 0 \) \( \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}\)

\({\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 3 \) \( \Leftrightarrow 2x - 1 = {3^3} \) \( \Leftrightarrow 2x = 28 \) \( \Leftrightarrow x = 14\left( {tm} \right)\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 14\)

b) Điều kiện: \(x > 0\)

\({\log _{49}}x = 0,25 \) \( \Leftrightarrow x = {49^{0,25}} = {7^{0,5}} = \sqrt 7 \left( {tm} \right)\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \sqrt 7 \)

c) Điều kiện: \(x > 2\)

\({\log _2}\left( {3x + 1} \right) = {\log _2}\left( {2x - 4} \right) \) \( \Leftrightarrow 3x + 1 = 2x - 4 \) \( \Leftrightarrow x = - 5\left( L \right)\)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

d) Điều kiện: \(x > 3\)

\({\log _5}\left( {x - 1} \right) + {\log _5}\left( {x - 3} \right) = {\log _5}\left( {2x + 10} \right) \) \( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = {\log _5}\left( {2x + 10} \right)\)

\( \) \( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 2x + 10 \) \( \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 2x + 10 \) \( \Leftrightarrow {x^2} - 6x - 7 = 0\)

\( \) \( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 7} \right) = 0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\x - 7 = 0\end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\left( L \right)\\x = 7\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 7\)

e) Điều kiện: \(x > 3\)

\(\log x + \log \left( {x - 3} \right) = 1 \) \( \Leftrightarrow \log x\left( {x - 3} \right) = \log 10 \) \( \Leftrightarrow {x^2} - 3x = 10\)

\( \) \( \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {x + 2} \right) = 0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 5 = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\left( {TM} \right)\\x = - 2\left( L \right)\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 5\)

g) Điều kiện: \(x > 0\).

\({\log _2}\left( {{{\log }_{81}}x} \right) = - 2 \) \( \Leftrightarrow {\log _{81}}x = {2^{ - 2}} = \frac{1}{4} \) \( \Leftrightarrow x = {81^{\frac{1}{4}}} = 3\left( {tm} \right)\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 3\).