Bài tập 9 trang 28 Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = {x^3}\)...

Đề bài :

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = {x^3}\), \(y = x\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) bằng:

A. \(2\)

B. \(\frac{5}{2}\)

C. \(\frac{9}{4}\)

D. \(\frac{1}{4}\)

Hướng dẫn giải :

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\) và các đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết :

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = {x^3}\), \(y = x\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^3} - x} \right|dx} \).

Ta có \({x^3} - x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = \pm 1\). Do đó:

\(S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^3} - x} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {{x^3} - x} \right|dx} = \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - x} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_1^2 {\left( {{x^3} - x} \right)dx} } \right| = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^2} \right|\)

\( = \left| { - \frac{1}{4}} \right| + \left| {\frac{9}{4}} \right| = \frac{5}{2}\)