Bài 6 trang 82 Toán 8 – Cánh diều: Cho Hình78, biết \(A{H^2} = BH. CH\). Chứng minh...

Đề bài :

Cho Hình78, biết \(A{H^2} = BH.CH\). Chứng minh:

a) \(\Delta HAB \backsim \Delta HCA\)

b) Tam giác ABC vuông tại A.

Hướng dẫn giải :

a) Từ đẳng thức đã cho, suy ra tỉ lệ các đoạn thẳng rồi chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp thứ hai.

b) Chứng minh \(\widehat {BAC} = 90^\circ \)

Lời giải chi tiết :

a) Ta có:

\(A{H^2} = BH.CH \Rightarrow AH.AH = BH.CH \Rightarrow \frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}}\)

Xét tam giác HAB và tam giác HCA có:

\(\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}}\) và \(\widehat {AHB} = \widehat {CHA} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \Delta HAB \backsim \Delta HCA\) (c-g-c)

b) Vì \(\Delta HAB \backsim \Delta HCA\)nên \(\widehat {HBA} = \widehat {HAC}\)

Xét tam giác AHB vuông tại H có:

\(\begin{array}{l}\widehat {HAB} + \widehat {HBA} = 90^\circ \\ \Rightarrow \widehat {HAB} + \widehat {HAC} = 90^\circ \\ \Rightarrow \widehat {BAC} = 90^\circ \end{array}\)

Vậy tam giác ABC vuông tại A.