Bài 42 trang 23 SBT Toán 11 - Cánh diều: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau...

Đề bài :

Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) \(y = \sin 2x\)

b) \(y = \left| {\sin x} \right|\)

c) \(y = {\tan ^2}x\)

d) \(y = \sqrt {1 - \cos x} \)

e) \(y = \tan x + \cot x\)

f) \(y = \sin x\cos 3x\)

Hướng dẫn giải :

Các hàm số đã cho đều thoả mãn trên tập xác định \(D\), với \(x \in D\) thì \( - x \in D\).

Với hàm \(f\left( x \right)\), xét \(f\left( { - x} \right)\). Nếu \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\) thì \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn; nếu \(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\) thì \(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ.

Lời giải chi tiết :

Các hàm số đã cho đều thoả mãn trên tập xác định \(D\), với \(x \in D\) thì \( - x \in D\).

a) Xét hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x\), ta có:

\(f\left( { - x} \right) = \sin \left[ {2\left( { - x} \right)} \right] = \sin \left( { - 2x} \right) = - \sin 2x = - f\left( x \right)\)

Do đó, hàm số đã cho là hàm số lẻ.

b) Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left| {\sin x} \right|\), ta có:

\(f\left( { - x} \right) = \left| {\sin \left( { - x} \right)} \right| = \left| { - \sin x} \right| = \left| {\sin x} \right| = f\left( x \right)\)

Do đó, hàm số đã cho là hàm số chẵn.

c) Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\tan ^2}x\) , ta có:

\(f\left( { - x} \right) = {\tan ^2}\left( { - x} \right) = {\left( { - \tan x} \right)^2} = {\tan ^2}x = f\left( x \right)\)

Do đó, hàm số đã cho là hàm số chẵn.

d) Xét hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {1 - \cos x} \) , ta có:

\(f\left( { - x} \right) = \sqrt {1 - \cos \left( { - x} \right)} = \sqrt {1 - \cos x} = f\left( x \right)\)

Do đó, hàm số đã cho là hàm số chẵn.

e) Xét hàm số \(f\left( x \right) = \tan x + \cot x\) , ta có:

\(f\left( { - x} \right) = \tan \left( { - x} \right) + \cot \left( { - x} \right) = - \tan x - \cot x = - f\left( x \right)\)

Do đó, hàm số đã cho là hàm số lẻ.

f) Xét hàm số \(f\left( x \right) = \sin x\cos 3x\) , ta có:

\(f\left( { - x} \right) = \sin \left( { - x} \right)\cos \left[ {3\left( { - x} \right)} \right] = - \sin x\cos \left( { - 3x} \right) = - \sin x\cos 3x = - f\left( x \right)\)

Do đó, hàm số đã cho là hàm số lẻ.