Bài 13 trang 11 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho \(\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{3}\) với \( - \frac{\pi }{2} \(A = \sin \alpha...

Đề bài :

Cho \(\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{3}\) với \( - \frac{\pi }{2}

a) \(A = \sin \alpha .\cos \alpha \)

b) \(B = \sin \alpha - \cos \alpha \)

c) \(C = {\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha \)

d) \(D = {\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha \)

Hướng dẫn giải :

a) Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) với \(A = \sin \alpha \), \(B = \cos \alpha \)

Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\).

b) Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) với \(A = \sin \alpha \), \(B = \cos \alpha \)

Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) và điều kiện \( - \frac{\pi }{2} để xét dấu của \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \).

c) Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + {B^3} + 3AB\left( {A + B} \right)\) với \(A = \sin \alpha \), \(B = \cos \alpha \).

Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) và kết quả ở câu a.

d) Sử dụng công thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) với \(A = {\sin ^2}\alpha \), \(B = {\cos ^2}\alpha \)

Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) và kết quả ở câu a.

Lời giải chi tiết :

a) Ta có \({\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} = {\sin ^2}\alpha + 2\sin \alpha .\cos \alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha \)

Suy ra \(A = \sin \alpha .\cos \alpha = \frac{{{{\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)}^2} - 1}}{2} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} - 1}}{2} = - \frac{4}{9}\)

b) Ta có \({B^2} = {\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)^2} = {\sin ^2}\alpha - 2\sin \alpha .\cos \alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha \)

Theo câu a, ta có \(\sin \alpha .\cos \alpha = - \frac{4}{9}\) nên \({B^2} = 1 - 2\left( { - \frac{4}{9}} \right) = \frac{{17}}{9} \Rightarrow B = \pm \frac{{\sqrt {17} }}{3}\).

Do \( - \frac{\pi }{2} , ta suy ra \(\sin \alpha 0\). Từ đó \(B = \sin \alpha - \cos \alpha

Như vậy \(B = - \frac{{\sqrt {17} }}{3}\)

c) Ta có \({\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^3} = {\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha + 3\sin \alpha .\cos \alpha \left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)\)

Theo câu a, ta có \(\sin \alpha .\cos \alpha = - \frac{4}{9}\) nên:

\(C = {\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^3} - 3\sin \alpha .\cos \alpha \left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right) = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} - 3.\frac{{ - 4}}{9}.\frac{1}{3} = \frac{{13}}{{27}}\).

d) Ta có \({\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)^2} = {\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^2} + 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \)

\( = {\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha + 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \)

Theo câu a, ta có \(\sin \alpha .\cos \alpha = - \frac{4}{9}\) nên:

\(D = {\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)^2} - 2{\left( {\sin \alpha .\cos \alpha } \right)^2} = 1 - 2{\left( { - \frac{4}{9}} \right)^2} = \frac{{49}}{{81}}\)