Bài 59 trang 58 SBT Toán 11 - Cánh diều: Một hình vuông có diện tích bằng 1 đơn vị diện tích...

Đề bài :

Một hình vuông có diện tích bằng 1 đơn vị diện tích. Chia hình vuông thành 9 hình vuông bằng nhau và tô màu hình vuông ở chính giữa. Với mỗi hình vuông nhỏ chưa được tô màu, lại chia thành 9 hình vuông bằng nhau và tô màu hình vuông ở chính giữa. Cứ như thế, quá trình trên được lặp lại.

a) Tính tổng diện tích phần đã được tô màu ở hình thứ nhất, thứ hai, thứ ba.

b) Dự đoán công thức tính tổng diện tích đã tô màu ở hình thứ \(n\).

Hướng dẫn giải :

a) Tính diện tích phần đã tô màu ở hình vuông thứ nhất, rồi hình vuông thứ hai, …

b) Từ các giá trị tìm được ở câu a, ta có thể dự đoán công thức tính tổng diện tích đã tô màu ở hình thứ \(n\).

Lời giải chi tiết :

a) Diện tích phần đã tô màu ở hình thứ nhất là \(\frac{1}{9} = 1 - \frac{8}{9}\)

Xét các hình vuông nhỏ trong hình thứ nhất, diện tích mỗi hình là \(\frac{1}{9}\), ta tô màu \(\frac{1}{9}\) mỗi hình vuông đó. Diện tích được tô màu ở mỗi hình vuông nhỏ đó là \(\frac{1}{9}.\frac{1}{9} = \frac{1}{{81}}\). Suy ra diện tích được tô màu ở hình vuông thứ hai là \(8.\frac{1}{{81}} + \frac{1}{9} = \frac{{17}}{{81}} = 1 - {\left( {\frac{8}{9}} \right)^2}\)

Tương tự, diện tích phần được tô màu ở hình vuông thứ ba là

\(64.\frac{1}{{729}} + \frac{{17}}{{81}} = \frac{{217}}{{729}} = 1 - {\left( {\frac{8}{9}} \right)^3}\)

b) Từ các kết quả trên, ta có thể dự đoán công thức tính diện tích phàn tô màu ở hình thứ \(n\) là \({S_n} = 1 - {\left( {\frac{8}{9}} \right)^n}\)