Bài 5.36 trang 127 Toán 9 Cùng khám phá tập 1: Cho hai đường tròn tâm O và I cắt nhau tại M và N...

Đề bài :

Cho hai đường tròn tâm O và I cắt nhau tại M và N. Vẽ một đường thẳng qua M cắt (O) tại A và cắt (I) tại B, một đường thẳng qua N cắt (O) tại C và (I) tại D. Chứng minh rằng AC//BD.

Hướng dẫn giải :

+ Chứng minh \(\widehat {NMB} + \widehat {NDB}\)$=\frac{1}{2}\left( sđ\overset\frown{NDB}+sđ\overset\frown{NMB} \right)$\( = \frac{1}{2}{.360^o}\)\( = {180^o}\).

+ Chứng minh \(\widehat {ACN} + \widehat {AMN} = {180^o}\), \(\widehat {NMB} + \widehat {AMN} = {180^o}\) nên \(\widehat {ACN} = \widehat {NMB}\)

+ Do đó, \(\widehat {ACN} + \widehat {NDB} = {180^o}\).

+ Gọi E là giao điểm của AB và CD.

Do đó: \(\widehat {BDE} + \widehat {NDB} = {180^o}\).

Suy ra \(\widehat {ACN} = \widehat {BDE}\) nên AC//BD.

Lời giải chi tiết :

Xét (I): Vì NMB là góc nội tiếp chắn cung NDB nên $\widehat{NMB}=\frac{1}{2}sđ\overset\frown{NDB}$.

Vì NDB là góc nội tiếp chắn cung NMB nên $\widehat{NDB}=\frac{1}{2}sđ\overset\frown{NMB}$.

Do đó, \(\widehat {NMB} + \widehat {NDB}\)$=\frac{1}{2}\left( sđ\overset\frown{NDB}+sđ\overset\frown{NMB} \right)$\( = \frac{1}{2}{.360^o}\)\( = {180^o}\)(1)

Chứng minh tương tự ta có: \(\widehat {ACN} + \widehat {AMN} = {180^o}\).

Mà \(\widehat {NMB} + \widehat {AMN} = {180^o}\) nên \(\widehat {ACN} = \widehat {NMB}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\widehat {ACN} + \widehat {NDB} = {180^o}\).

Gọi E là giao điểm của AB và CD.

Do đó: \(\widehat {BDE} + \widehat {NDB} = {180^o}\)

Suy ra \(\widehat {ACN} = \widehat {BDE}\), mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

Do đó, AC//BD.