Bài tập 9.19 trang 83 Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức: Cho điểm I nằm ngoài đường tròn (O)...

Đề bài :

Cho điểm I nằm ngoài đường tròn (O). Qua I kẻ hai đường thẳng lần lượt cắt (O) tại bốn điểm A, B và C, D sao cho A nằm giữa B và I, C nằm giữa D và I. Chứng minh rằng \(\widehat {IBD} = \widehat {ICA},\widehat {IAC} = \widehat {IDB}\) và \(IA.IB = IC.ID\).

Hướng dẫn giải :

+ Chứng minh \(\widehat {ABD} + \widehat {ACD} = {180^o}\), mà \(\widehat {ICA} + \widehat {ACD} = {180^o}\) nên \(\widehat {IBD} = \widehat {ICA}\).

+ Chứng minh \(\widehat {CAB} + \widehat {CDB} = {180^o}\), mà \(\widehat {CAB} + \widehat {IAC} = {180^o}\) nên \(\widehat {IAC} = \widehat {IDB}\).

+ Chứng minh $\Delta ICB\backsim \Delta IAD\Rightarrow \frac{IC}{IA}=\frac{IB}{ID}\Rightarrow IA.IB=IC.ID$

Lời giải chi tiết :

Tứ giác ABDC nội tiếp (O) nên \(\widehat {ABD} + \widehat {ACD} = {180^o}\), mà \(\widehat {ICA} + \widehat {ACD} = {180^o}\) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {IBD} = \widehat {ICA}\)

Tứ giác ABDC nội tiếp (O) nên\(\widehat {CAB} + \widehat {CDB} = {180^o}\), mà \(\widehat {CAB} + \widehat {IAC} = {180^o}\) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {IAC} = \widehat {IDB}\)

Tam giác ICB và tam giác IAD có:

Góc I chung, \(\widehat {IBC} = \widehat {IDA}\) (hai góc nội tiếp đường tròn (O) cùng chắn cung AC).

Do đo, $\Delta ICB\backsim \Delta IAD\Rightarrow \frac{IC}{IA}=\frac{IB}{ID}\Rightarrow IA.IB=IC.ID$.