Bài tập 9.8 trang 76 Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng đường tròn (O) có bán kính bằng 3cm...

Đề bài :

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng đường tròn (O) có bán kính bằng 3cm. Tính diện tích tam giác ABC.

Hướng dẫn giải :

+ Vì tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O) nên O là trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC.

+ Gọi H là giao điểm của AO và BC nên AH là trung trực đồng thời là đường cao trong tam giác đều ABC. Do đó: \(OA = \frac{{BC\sqrt 3 }}{3}\), từ đó tính được BC.

+ Diện tích tam giác ABC: \(S = \frac{1}{2}AH.BC\).

Lời giải chi tiết :

Vì tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O) nên O là trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC.

Gọi H là giao điểm của AO và BC nên AH là trung trực đồng thời là đường cao, đường trung tuyến trong tam giác đều ABC.

Do đó: \(OA = \frac{{BC\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow BC = \sqrt 3 OA = 3\sqrt 3 \left( {cm} \right)\)

Vì O là trọng tâm của tam giác ABC, AH là đường trung tuyến của tam giác ABC nên \(AH = \frac{3}{2}OA = \frac{3}{2}.3 = \frac{9}{2}\left( {cm} \right)\)

Diện tích tam giác ABC là:

\(S = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}.\frac{9}{2}.3\sqrt 3 = \frac{{27\sqrt 3 }}{4}\left( {c{m^2}} \right)\)