Bài 6.27 trang 19 SBT Toán 10 Kết nối tri thức với cuộc sống: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh...

Đề bài :

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

\({b^2}{x^2} - ({b^2} + {c^2} - {a^2})x + {c^2} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

Phương pháp giải :

Bước 1: Tính giá trị của ∆

Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức tam giác để chứng minh ∆ < 0

Bước 3: Kết luận

Lời giải chi tiết :

Tam thức bậc hai \({b^2}{x^2} - ({b^2} + {c^2} - {a^2})x + {c^2}\) có ∆ = \({({b^2} + {c^2} - {a^2})^2} - 4{b^2}{c^2}\)

 \( = ({b^2} + {c^2} - {a^2} - 2bc)({b^2} + {c^2} - {a^2} + 2bc)\)

 \( = \left[ {{{(b - c)}^2} - {a^2}} \right]\left[ {{{(b + c)}^2} - {a^2}} \right]\)

 \( = (b - c - a)(b - c + a)(b + c - a)(b + c + a)\)

 \( =  - (a + c - b)(a + b - c)(b + c - a)(a + b + c)\)

Do a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên a > 0, b > 0, c > 0 và a + b + c > 0

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

\(\begin{array}{l}a + b > c \Leftrightarrow a + b - c > 0\\b + c > a \Leftrightarrow b + c - a > 0\\a + c > b \Leftrightarrow a + c - b > 0\end{array}\)

Do đó \((a + c - b)(a + b - c)(b + c - a)(a + b + c) > 0\) \( \Rightarrow  - (a + c - b)(a + b - c)(b + c - a)(a + b + c) < 0\)

\( \Rightarrow \Delta  < 0\) với mọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác

Vì hệ số a = b² > 0 và ∆ < 0 nên  BPT \({b^2}{x^2} - ({b^2} + {c^2} - {a^2})x + {c^2} > 0\) nghiệm đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\)

Vậy \({b^2}{x^2} - ({b^2} + {c^2} - {a^2})x + {c^2} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)