Giải bài 3.46 trang 44 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống...

Đề bài :

Trên biển, một tàu cá xuất phát từ cảng A, chạy về phương đông 15 km tới B, rồi chuyển sang hướng \(E{30^ \circ }S\) chạy tiếp 20 km nữa tới đảo C.

a) Tính khoảng cách từ A đến C (làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị ki lô mét).

b) Xác định hướng từ A tới C (làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị độ).

Phương pháp giải :

- Tính \(\widehat {ABC}.\)

- Áp dụng định lý cosin để tính cạnh \(AC\):

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} + 2AB.BC.\cos \widehat {ABC}\)

- Áp dụng định lý sin để tính \(\widehat A\): \(\frac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}} = \frac{{BC}}{{\sin \widehat A}}.\)

Lời giải chi tiết :

a) Ta có: \(\widehat {ABC} = {180^ \circ } - {30^ \circ } = {150^ \circ }.\)

Khoảng cách từ A đến C là:

Áp dụng định lý cosin, ta có:

\(\begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} + 2AB.BC.\cos \widehat {ABC}\\ \Rightarrow \,\,A{C^2} = 225 + 400 - 2.15.20.\cos {150^ \circ }\\ \Rightarrow \,\,A{C^2} \approx 1144.6\\ \Rightarrow \,\,AC \approx 33.8\end{array}\)

b) Áp dụng định lý sin, ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}} = \frac{{BC}}{{\sin \widehat A}}\,\, \Leftrightarrow \,\,\frac{{33.8}}{{\sin {{150}^ \circ }}} = \frac{{20}}{{\sin \widehat A}}\\ \Leftrightarrow \,\,\sin \widehat A = \frac{{20.\sin {{150}^ \circ }}}{{33.8}} \approx 0.296\\\,\, \Leftrightarrow \widehat A = {17^ \circ }.\end{array}\)

Vậy từ A tới C là hướng \(E{17^ \circ }S.\)