Bài 3.6 trang 67 Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức: Điểm thi môn Toán (thang điểm 100...

Đề bài :

Điểm thi môn Toán (thang điểm 100, điểm được làm tròn đến 1) của 60 thí sinh được cho trong bảng sau:

a) Hiệu chỉnh để thu được mẫu số liệu ghép nhóm dạng Bảng 3.2.

b) Tìm các tứ phân vị và giải thích ý nghĩa của chúng.

Hướng dẫn giải :

Để tính tứ phân vị thứ nhất\({Q_1}\)của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa \({Q_1}\), giả sử đó là nhóm thứ \(p:\left[ {{a_p};\;{a_{p + 1}}} \right).\;\)Khi đó,

\({Q_1} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{4} - \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\).

Trong đó, n là cỡ mẫu, \({m_p}\) là tần số nhóm p, với \(p = 1\) ta quy ước \({m_1} + \ldots + {m_{p - 1}} = 0\).

Để tính tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa \({Q_3}\). Giả sử đó là nhóm thứ \(p:\left[ {{a_p};\;{a_{p + 1}}} \right)\). Khi đó,

\({Q_3} = {a_p} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\).

Trong đó, n là cỡ mẫu, \({m_p}\) là tần số nhóm p, với \(p = 1\) ta quy ước \({m_1} + \ldots + {m_{p - 1}} = 0\).

Lời giải chi tiết :

a)

b) Cỡ mẫu \(n = 60\)

Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \(\frac{{{x_{15}} + {x_{16}}}}{2}\). Do \({x_{15}},\;{x_{16}}\) đều thuộc nhóm \(\left[ {40;50} \right)\) nên nhóm náy chứa \({Q_1}\). Do đó,

\(p = 5;\;\;{a_5} = 40;\;\;{m_5} = 15;\;\;{m_1} + {m_2} + {m_3} + {m_4} = 1 + 2 + 4 + 6 = 13;\;{a_6} - {a_5} = 10\)

Ta có \({Q_1} = 40 + \frac{{\frac{{60}}{4} - 13}}{{15}} \times 10 = 41,33\)

Ý nghĩa: Có 25% số giá trị nhỏ hơn 41,33

Tứ phân vị thứ hai, \({M_e}\) là \(\frac{{{x_{30}} + {x_{31}}}}{2}\). Do \({x_{30}};\;{x_{31}}\) đều thuộc nhóm \(\left[ {50;60} \right)\) nên nhóm này chứa \({M_e}\). Do đó,

\(p = 6;\;\;{a_6} = 50;\;\;{m_6} = 12;\;\;{m_1} + {m_2} + {m_3} + {m_4} + {m_5} = 1 + 2 + 4 + 6 + 15 = 13;\;{a_7} - {a_6} = 10\)

Ta có: \({Q_2} = 50 + \frac{{\frac{{60}}{2} - 28}}{{12}} \times 10 = 51,66\)

Ý nghĩa: Có 50% số giá trị nhỏ hơn 51,66

Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) là \(\frac{{{x_{45}} + {x_{46}}}}{2}\). Do \({x_{45}},\;{x_{46}}\) đều thuộc nhóm \(\left[ {60;70} \right)\) nên nhóm náy chứa \({Q_3}\). Do đó,

\(p = 7;\;\;{a_7} = 60;\;\;{m_7} = 10;\;\;{m_1} + {m_2} + {m_3} + {m_4} + {m_5} + {m_6} = 1 + 2 + 4 + 6 + 15 + 12 = 40; {a_8} - {a_7} = 10\).

Ta có: \({Q_3} = 60 + \frac{{\frac{{60 \times 3}}{4} - 40}}{{10}} \times 10 = 65\)

Ý nghĩa: Có 75% số giá trị nhỏ hơn 65.