Bài 4.42 trang 103 Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’. Gọi M, N...

Đề bài :

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, AA’.

a) Xác định giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B‘C.

b) Gọi K là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B’C. Tính tỉ số \(\frac{{KB’}}{{KC}}\).

Hướng dẫn giải :

Trường hợp 1: \(\left( \alpha \right)\) chứa đường thẳng \(\Delta \) và cắt đường thẳng d tại I

Khi đó: \(I = d \cap \Delta \Rightarrow I = d \cap \left( \alpha \right)\)

Trường hợp 2: \(\left( \alpha \right)\) không chứa đường thẳng nào d

- Tìm \(\left( \beta \right) \supset d\) và \(\left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = \Delta \)

- Tìm \(I = d \cap \Delta \)

Suy ra, \(I = d \cap \left( \alpha \right)\).

Lời giải chi tiết :

a) Ta có \(\left( {MNP} \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN,\left( {ABC} \right) \cap \left( {ACC’A’} \right) = AC,AC//MN\) (do MN là đường trung bình của tam giác ABC) suy ra giao tuyến của (MNP) và (ACC’A’) song song với MN và AC.

Qua P kẻ đường thẳng song song với AC cắt CC’ tại H.

PH là giao tuyến của (MNP) và (ACC’A’).

Nối H với N cắt B’C tại K.

Vậy K là giao điểm của (MNP) và B’C.

b) Gọi giao điểm BC’ và B’C là O.

Ta có ACC’A’ là hình bình hành P là trung điểm AA’, PH //AC suy ra H là trung điểm CC’.

Xét tam giác CC’B ta có: HN là đường trung bình suy ra CK = OK.

Mà OC = OB’ suy ra \(\frac{{KB’}}{{KC}} = 3\).