Bài 27 trang 108 Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Giải các phương trình và bất phương trình sau...

Đề bài :

Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) \({3^{\frac{1}{x}}} = 4\)

b) \({2^{{x^2} - 3x}} = 4\);

c) \({\log _4}(x + 1) + {\log _4}(x - 3) = 3\);

d) \({\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{x^2} - 2x}} \ge \frac{1}{{125}}\)

e) \({(2 - \sqrt 3 )^x} \le {(2 + \sqrt 3 )^{x + 2}}\)

f) \(\log \left( {3{x^2} + 1} \right) > \log (4x)\).

Hướng dẫn giải :

Tìm điều kiện của các phương trình sau đó giải

Lời giải chi tiết :

a) \({3^{\frac{1}{x}}} = 4\) (ĐK: \(x \ne 0\))

\( \Leftrightarrow \frac{1}{x} = {\log _3}4 \Leftrightarrow x = {\log _4}3\left( {TM} \right)\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(x = {\log _4}3\)

b) \({2^{{x^2} - 3x}} = 4\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {2^{{x^2} - 3x}} = {2^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x = 2\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}\\x = \frac{{3 - \sqrt {17} }}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {\frac{{3 - \sqrt {17} }}{2};\frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}} \right\}\)

c) \({\log _4}(x + 1) + {\log _4}(x - 3) = 3\) (ĐK: x > 3)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _4}\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)} \right] = 3\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = {4^3}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 64\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 67 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + 2\sqrt {17} (TM) \\x = 1 - 2\sqrt {17} (L) \end{array} \right.\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 1 + 2\sqrt {17}\)

d) \({\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{x^2} - 2x}} \ge \frac{1}{{125}} \)

\(\Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{x^2} - 2x}} \ge {\left( {\frac{1}{5}} \right)^3} \\\Leftrightarrow {x^2} - 2x \le 3 \\\Leftrightarrow - 1 \le x \le 3\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left[ { - 1;3} \right]\)

e) \({(2 - \sqrt 3 )^x} \le {(2 + \sqrt 3 )^{x + 2}} \)

\(\Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - x}} \le {(2 + \sqrt 3 )^{x + 2}} \\\Leftrightarrow - x \le x + 2 \\\Leftrightarrow x \ge - 1\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left[ { - 1; + \infty } \right)\)

f) \(\log \left( {3{x^2} + 1} \right) > \log (4x) \) (ĐK: x > 0)

\(\Leftrightarrow 3{x^2} + 1 > 4x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < \frac{1}{3}\\x > 1\end{array} \right.\)

Kết hợp với điều kiện, ta có:

\( \left[ \begin{array}{l} 01\end{array} \right.\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left( {0 ;\frac{1}{3}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)