Bài 27 trang 70 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Xét xem các dãy số với công thức tổng quát sau có phải là cấp số cộng/cấp số nhân hay...

Đề bài :

Xét xem các dãy số với công thức tổng quát sau có phải là cấp số cộng/cấp số nhân hay không. Tìm số hạng đầu tiên và công sai/công bội nếu có.

a) \({u_n} = 5n - 7\);

b) \({u_n} = 9 \cdot {2^n}\);

c) \({u_n} = {n^2} - n + 1\).

Hướng dẫn giải :

Nếu \({u_{n + 1}} - {u_n} = \)hằng số với \(\forall n \in \mathbb{N}*\) thì dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)là cấp số cộng

Nếu \({u_{n + 1}} = {u_n}.q\) với \(q\) là hằng số với \(\forall n \in \mathbb{N}*\) thì dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)là cấp số nhân

Lời giải chi tiết :

a) Ta có \({u_{n + 1}} = 5\left( {n + 1} \right) - 7 = 5n - 2\), suy ra

\({u_{n + 1}} - {u_n} = 5n - 2 - \left( {5n - 7} \right) = 5\forall n.\)

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng và \({u_1} = - 2,d = 5\).

Lại có \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{3}{{ - 2}} \ne \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = \frac{8}{3}\) nên \(\left( {{u_n}} \right)\) không là cấp số nhân.

b) Ta có \({u_{n + 1}} = 9 \cdot {2^{n + 1}} = 18 \cdot {2^n}\), suy ra \({u_{n + 1}}:{u_n} = 2\forall n\).

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân và \({u_1} = 18,q = 2\).

Lại có \({u_2} - {u_1} = 36 - 18 \ne {u_3} - {u_2} = 72 - 36\) nên \(\left( {{u_n}} \right)\) không là cấp số cộng.

c) Ta có \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{3}{1} \ne \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = \frac{7}{3}\) nên \(\left( {{u_n}} \right)\) không là cấp số nhân.

Lại có \({u_2} - {u_1} = 3 - 1 \ne {u_3} - {u_2} = 7 - 3\) nên \(\left( {{u_n}} \right)\) không là cấp số cộng.