Hỏi \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) có song song với nhau hay không?...

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: \(\left( \alpha \right):5x + 2y - 4z + 6 = 0\) và \(\left( \beta \right):10x + 4y - 2z + 12 = 0\)

a) Hỏi \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) có song song với nhau hay không?

b) Chứng minh rằng điểm \(M\left( {1; - 3;5} \right)\) không thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nhưng thuộc mặt phẳng \(\left( \beta \right)\).

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua \(M\left( {1; - 3;5} \right)\) và song song với \(\left( \alpha \right)\).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0\), \(\left( \beta \right):A’x + B’y + C’z + D’ = 0\) với các vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n’} = \left( {A’;B’;C’} \right)\) tương ứng. Khi đó, \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {n’} = k\overrightarrow n \\D’ \ne kD\end{array} \right.\) với k nào đó.

Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng song song để tính: Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng kia.

Lời giải chi tiết :

a) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {5;2; - 4} \right)\), mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {10;4; - 2} \right)\).

Vì \(\frac{5}{{10}} = \frac{4}{2} \ne \frac{{ - 4}}{2}\) nên \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \) và \(\overrightarrow {{n_\beta }} \) không cùng phương. Do đó, hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) không song song với nhau.

b) Vì \(5.1 - 3.2 - 4.5 + 6 = 5 - 6 - 20 + 6 = - 15 \ne 0\) nên điểm \(M\left( {1; - 3;5} \right)\) không thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

Vì \(10.1 + 4.\left( { - 3} \right) - 2.5 + 12 = 0\) nên điểm \(M\left( {1; - 3;5} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( \beta \right)\).

c) Vì mặt phẳng (P) song song với \(\left( \alpha \right)\) nên mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {5;2; - 4} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến. Mà điểm \(M\left( {1; - 3;5} \right)\) thuộc (P) nên phương trình mặt phẳng (P) là:

\(5\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y + 3} \right) - 4\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x + 2y - 4z + 21 = 0\)