Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\left( \beta \right)\) và góc giữa hai giá của \(\overrightarrow n ,\overrightarrow {n’} \) có mối quan hệ gì?...

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0\), \(\left( \beta \right):A’x + B’y + C’z + D’ = 0\) với hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n’} = \left( {A’;B’;C’} \right)\) tương ứng.

a) Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\left( \beta \right)\) và góc giữa hai giá của \(\overrightarrow n ,\overrightarrow {n’} \) có mối quan hệ gì?

b) Hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n ,\overrightarrow {n’} \) có mối quan hệ gì?

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng: Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng bất kì tương ứng vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

a) Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng bất kì tương ứng vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\left( \beta \right)\).

Mà giá của \(\overrightarrow n \) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), giá của \(\overrightarrow {n’} \) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \beta \right)\).

Do đó, góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\left( \beta \right)\) bằng góc giữa hai giá của \(\overrightarrow n ,\overrightarrow {n’} \).

b) Hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) bằng \({90^o}\), do đó, hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n ,\overrightarrow {n’} \) vuông góc với nhau.