Trước khi tiến hành xét nghiệm, xác suất mắc bệnh hiểm nghèo X của ông M là bao nhiêu?...

Trở lại tình huống mở đầu Mục 2. Thống kê cho thấy tỉ lệ dân số mắc bệnh hiểm nghèo X là 0,2%.

a) Trước khi tiến hành xét nghiệm, xác suất mắc bệnh hiểm nghèo X của ông M là bao nhiêu?

b) Sau khi xét nghiệm cho kết quả dương tính, xác suất mắc bệnh hiểm nghèo X của ông M là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về công thức xác suất toàn phần để tính: Cho hai biến cố A và B. Khi đó, ta có công thức sau: \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\).

Sử dụng kiến thức về công thức Bayes để tính: Cho A và B là hai biến cố, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, ta có công thức sau: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}\).

Lời giải chi tiết :

a) Vì tỉ lệ dân số mắc bệnh hiểm nghèo X là 0,2% nên xác suất mắc bệnh hiểm nghèo M của ông X là: \(P\left( A \right) = 0,002\)

b) Theo ví dụ 3, ta có: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{p.0,95}}{{p.0,95 + \left( {1 - p} \right).0,01}}\)

Với \(p = 0,002\) ta có: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{0,002.0,95}}{{0,002.0,95 + \left( {1 - 0,002} \right).0,01}} \approx 0,1599\)

Vậy sau khi xét nghiệm cho kết quả dương tính, xác suất mắc bệnh hiểm nghèo X của ông M là khoảng 0,1599.