Bài tập 20 trang 92 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Tính các tích phân sau: \(I = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - x} \right|dx} \)...

Đề bài :

Tính các tích phân sau:

a) \(I = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - x} \right|dx} \);

b) \(I = \int\limits_0^1 {{{\left( {2x - 1} \right)}^3}dx} \);

c) \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\left( {3\sin x - \frac{2}{{{{\cos }^2}x}}} \right)}^3}dx} \);

d) \(I = \int\limits_1^2 {\left( {2{e^x} - \frac{1}{x}} \right)dx} \).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số \(F\left( b \right) - F\left( a \right)\) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \).

Sử dụng kiến thức về tính chất của tích phân để tính: Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:

+ \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) (k là hằng số)

+ \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \)

+ \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} - \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \)

Lời giải chi tiết :

a) \(I = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - x} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - x} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - x} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left( {x - {x^2}} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - x} \right)dx} \)

\( = \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. + \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right. = \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{8}{3} - \frac{4}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2}} \right) = 1\)

b) \(I = \int\limits_0^1 {{{\left( {2x - 1} \right)}^3}dx} = \int\limits_0^1 {\left( {8{x^3} - 12{x^2} + 6x - 1} \right)dx} = \left( {2{x^4} - 4{x^3} + 3{x^2} - x} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = 2 - 4 + 3 - 1 = 0\)

c) \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {3\sin x - \frac{2}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx} = \left( { - 3\cos x - 2\tan x} \right)\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{4}\\0\end{array} \right. = 1 - \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)

d) \(I = \int\limits_1^2 {\left( {2{e^x} - \frac{1}{x}} \right)dx} = \left( {2{e^x} - \ln \left| x \right|} \right)\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right. = 2{e^2} - \ln 2 - 2e\).