Bài tập 16 trang 92 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: \(y = {x^3} - 3{x^2}\)...

Đề bài :

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = {x^3} - 3{x^2}\);

b) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}\);

c) \(y = \frac{{2{x^2} + x - 2}}{{x - 1}}\).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về sơ đồ khảo sát hàm số để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:

+ Tính đạo hàm y’. Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

+ Xét dấu y’ để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.

+ Tìm cực trị của hàm số.

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực. Chỉ ra các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị hàm số

+ Lập bảng biến thiên của hàm số.

3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.

Lời giải chi tiết :

a) 1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

2. Sự biến thiên:

Ta có: \(y’ = 3{x^2} - 6x,y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\)

Trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\), \(y’ 0\) nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\), giá trị cực đại . Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\), giá trị cực tiểu \({y_{CT}} = - 4\).

Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} - 3x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^3}\left( {1 - \frac{3}{x}} \right)} \right] = - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} - 3x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^3}\left( {1 - \frac{3}{x}} \right)} \right] = + \infty \)

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

b) 1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\)

2. Sự biến thiên:

\(y’ = \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0\forall x \ne - 2\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} = 2\). \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} = - \infty \).

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = - 2\) làm tiệm cận đứng và đường thẳng \(y = 2\) làm tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\).

\(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1}}{2}\)

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là \(\left( {\frac{{ - 1}}{2};0} \right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left( { - 2;2} \right)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

c) 1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

2. Sự biến thiên:

Ta có: \(y = \frac{{2{x^2} + x - 2}}{{x - 1}} = 2x + 3 + \frac{1}{{x - 1}}\)

\(y’ = 2 - \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}},y’ = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt 2 + 2}}{2}\) hoặc \(x = \frac{{ - \sqrt 2 + 2}}{2}\)

Trong khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{{ - \sqrt 2 + 2}}{2}} \right)\) và \(\left( {\frac{{\sqrt 2 + 2}}{2}; + \infty } \right)\), \(y’ > 0\) nên hàm số đồng biến.

Trong khoảng \(\left( {\frac{{ - \sqrt 2 + 2}}{2};1} \right)\) và \(\left( {1;\frac{{\sqrt 2 + 2}}{2}} \right)\), \(y’ < 0\) nên hàm số nghịch biến.

Hàm số đạt cực đại tại \(x = \frac{{ - \sqrt 2 + 2}}{2}\), giá trị cực đại .

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\), giá trị cực đại \({y_{CT}} = 5 + 2\sqrt 2 \).

Giới hạn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^2} + x - 2}}{{x - 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2{x^2} + x - 2}}{{x - 1}} = - \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2{x^2} + x - 2}}{{x - 1}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2{x^2} + x - 2}}{{x - 1}} = + \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {2x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2x + 3 + \frac{1}{{x - 1}} - \left( {2x + 3} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x - 1}} = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {2x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2x + 3 + \frac{1}{{x - 1}} - \left( {2x + 3} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{x - 1}} = 0\)

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = 1\) làm tiệm cận đứng và đường thẳng \(y = 2x + 3\) làm tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là \[\left( {0; - 2} \right).\]

\(\frac{{2{x^2} + x - 2}}{{x - 1}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1 - \sqrt {17} }}{4}\) hoặc \(x = \frac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{4}\)

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là \(\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt {17} }}{4};0} \right)\) và \(\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{4};0} \right)\)

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \[I\left( {1;5} \right)\] của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.