Bài tập 2 trang 90 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}\) trên đoạn [2...

Đề bài :

Giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}\) trên đoạn [2; 4] là

A. \(M = 6\).

B. \(M = 7\).

C. \(M = \frac{{19}}{3}\).

D. \(M = \frac{{20}}{3}\).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên một đoạn để tính: Giả sử \(y = f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) mà đạo hàm \(f’\left( x \right) = 0\).

Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):

1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...{x_n} \in \left( {a;b} \right)\), tại đó \(f’\left( x \right) = 0\) hoặc không tồn tại.

2. Tính \(f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right)\), f(a) và f(b).

3. Tìm số lớn nhất M trong các số trên. Ta có: \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(y’ = \frac{{\left( {{x^2} + 3} \right)’\left( {x - 1} \right) - {x^2} - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2x\left( {x - 1} \right) - {x^2} - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

\(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\left( {TM} \right)\\x = - 1\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\)

Ta có: \(y\left( 2 \right) = 7,y\left( 4 \right) = \frac{{19}}{3},y\left( 3 \right) = 6\). Do đó, \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} y = y\left( 2 \right) = 7\)

Chọn B.