Bài 2 trang 71 Toán 9 Chân trời sáng tạo tập 1: Cho tam giác ABC có BC = 20 cm, \(\widehat {ABC} = {22^o}...

Đề bài :

Cho tam giác ABC có BC = 20 cm, \(\widehat {ABC} = {22^o},\widehat {ACB} = {30^o}\)

a) Tính khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC.

b) Tính các cạnh và các góc còn lại của tam giác ABC.

c) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

Hướng dẫn giải :

- Đọc kĩ dữ liệu đề bài để vẽ hình

- Dựa vào định lí: Xét tam giác vuông:

+ Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân sin góc đối hoặc nhân côsin góc kề rồi suy ra cạnh góc vuông.

+ Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết :

a) Gọi BD là đường cao hạ từ B xuống AC.

Xét tam giác BDC, \(\widehat {ACB} = {30^o}\) ta có:

\(BD = \sin \widehat {ACB}.BC = \sin {30^o}.20 = 10cm\)

Vậy khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC chính là BD = 10 cm.

b) Xét tam giác ABC, ta có:

\(\widehat {CAB} = {180^o} - \widehat {ACB} - \widehat {ABC} = {180^o} - {30^o} - {22^o} = {128^o}\)

Xét tam giác ABD vuông tại D, \(\widehat {CAB} = {128^o}\), ta có:

AB = \(\frac{{BD}}{{\sin \widehat {CAB}}} = 12,7\)cm

Áp dụng định lý Pythagore, ta có:

AD = \(\sqrt {A{B^2} - B{D^2}} = \sqrt {{{12.7}^2} - {{10}^2}} = 7,8cm\)

Xét tam giác BCD vuông tại D, \(\widehat {ACB} = {30^o}\) ta có:

CD = \(cos\widehat {ACB}.BD = \cos {30^o}.10 = 5\sqrt 3 cm\)

Suy ra AC = AD + CD = 16,5 cm.

c) Gọi AE là đường cao hạ từ A xuống BC.

Xét tam giác ACE vuông tại E, \(\widehat {ACB} = {30^o}\), ta có:

AE = sin \(\widehat {ACB}\).AC = sin 30^o.16,5 = 8,3 cm.

Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC chính là AE = 8,3 cm.